Problemi su triangoli e poligoni simili

Tracce

  1. E’ dato un triangolo rettangolo di cui si conosce l’ipotenusa, di 15 cm, e un cateto, di 12 cm. Determinare i cateti di un triangolo simile a quello dato, sapendo che la sua ipotenusa è di 60 cm. 
  2. I tre lati di un triangolo rettangolo sono lunghi 3 cm,5 cm e 7 cm.
    Determinare le lunghezze dei tre lati di un triangolo simile a quello dato il cui perimetro è di 210 cm.
  3. Un triangolo rettangolo ABC ha l’ipotenusa BC di 60 cm ed è 4AC=3AB.Determinare perimetro e area di un triangolo simile il cui cateto minore è 64 cm.
  4. Determinare i lati di un triangolo rettangolo MNP, simile a un triangolo rettangolo di cateti AB=16 cm e AC=30 cm, sapendo che il cateto minore del triangolo MNP è congruente all’ipotenusa BC del triangolo ABC.
  5. Un lato di un triangolo è di 25 cm; determinare la lunghezza di un segmento parallelo a esso, che divide l’altezza relativa al lato dato in due segmenti il cui rapporto è 2/3.
  6. In un triangolo rettangolo ABC i cateti AB e AC misurano rispettivamente, in centimetri, 15 e 36. Dal punto M del cateto AC, che lo divide, a partire dal vertice C, in due parti, una tripla dell’altra (CM=3MA), si conduce la parallela al cateto AB che incontra in N l’ipotenusa BC. Determinare il perimetro del trapezio AMNB.
  7. Un triangolo isoscele ABC ha i lati AC=BC=60 cm e la base AB=96 cm; dal punto M del lato BC, tale che sia MC=5/6 BC, si conduce la parallela alla base AB. Determinare il perimetro del triangolo che tale parallela stacca dal triangolo dato ABC.
  8. L’ipotenusa BC di un triangolo rettangolo ABC è di 30 cm e il cateto AB di 18 cm. Dal punto P del cateto AC tale che PC sia doppio di AP, si conduce la parallela all’ipotenusa che incontra in M il cateto AB, e la parallela del cateto AB, che incontra in N l’ipotenusa. Determinare la lunghezza dei segmenti AP, AM, PC, CN.
  9. In un triangolo isoscele ABC, di base AB=42 cm, e di perimetro 192 cm, l’altezza CH è divisa dal punto P in due segmenti tali che CP:PH=7:5. Dal punto P si traccia la parallela alla base che incontra il lato BC in Q. Determinare le lunghezze dei segmenti in cui il punto Q divide il lato BC.
  10. I cateti di un triangolo rettangolo sono lunghi 8,25 cm e 11 cm. Da un punto dell’ipotenusa che la divide, a partire dal vertice in comune con il lato minore, in parti proporzionali ai numeri 5 e 6 si conducono le parallele ai cateti. Determinare il perimetro delle tre parti in cui resta diviso il triangolo dato.
  11. Il perimetro di un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, è 144 cm e il lato BC supera la base di 12 cm. Determinare i tre lati.  Dal punto P di AB tale che AP=7/13 PB si conducano le perpendicolari PH e PK rispettivamente ai lati BC e AC. Determinare il perimetro dei triangoli AKP e PHB.
  12. Nel triangolo ABC, la cui area è 45 cm^2, la base AB è 15 cm. Calcolare l’area di un triangolo A’B’C’ simile al dato, sapendo che il lato A’B’, omologo di AB, è di 60 cm.
  13. Il lato BC di un triangolo ABC è di 2,5 dm; determinare la lunghezza di un segmento MN parallelo a esso e che divide l’altezza AH del triangolo ABC relativa al lato BC nelle parti AK e KH in modo che sia AK:KH=2:3.
  14. Il perimetro del triangolo isoscele ABC è di 384 cm e la base AB è i 14/25 del lato AC. Determinare la lunghezza della corda DE parallela alla base AB in modo che il perimetro del trapezio ABED sia di 240 cm.
  15. I cateti di un triangolo rettangolo sono di 16 cm e di 30 cm; determinare i lati di un triangolo simile al dato il cui cateto maggiore sia congruente all’altezza del primo triangolo, relativa all’ipotenusa.
  16. Del rettangolo ABCD si conoscono AB=48 cm e AD=36 cm; sia P il punto della diagonale BD tale che sia DP=1/6 BD. Da P di conduca la parallela ad AD e si indichino con H e K le intersezioni di tale parallela rispettivamente con AB e con CD. Individuare tutti i triangoli simili al triangolo ABD. Determinare poi l’area del quadrilatero BCPH.
  17. Nel triangolo rettangolo ABC l’ipotenusa BC è i 5/3 del cateto AB e il perimetro è lungo 72 cm. Da un punto P dell’ipotenusa  che, a partire dal vertice C, la divide in parti proporzionali ai numeri 3 e 7 si conduca la perpendicolare all’ipotenusa. Determinare il perimetro e l’area delle due parti in cui resta diviso il triangolo.
  18. E’ dato un triangolo isoscele ABC il cui lato AB è di 150 cm ed è i 5/6 della base BC. Si conduca l’altezza BK relativa al lato AC e si consideri su AB il punto M tale che sia BM=1/4 AM. Si tracci poi da M la parallela a BK che incontri AC nel punto N. Determinare il perimetro del triangolo AMN.
  19. Nel triangolo ABC il perimetro è di 62 cm, il lato AB è 3/5 del lato BC il quale supera di 2 cm i 3/5 del lato AC. Dal punto M di AB, tale che AM=4 c, si conduca la corda MN parallela al lato AC. Si determini la lunghezza della corda MN.
  20. Il rapporto tra le aree di due triangoli simili è 25/9 e il perimetro del maggiore misura 300 a. Determinare la misura del perimetro del secondo triangolo.
  21. Le aree di due rettangoli simili stanno fra loro come 1 sta a 9. Il primo rettangolo ha perimetro 42 cm e, in esso, il rapporto tra base e diagonale è 4/5. Calcolare la diagonale del secondo rettangolo.
  22. I lati di un rettangolo misurano 2a e 3a. Calcolare i lati di un rettangolo simile sapendo che quest’ultimo ha un perimetro che misura 55a.
  23. In un rettangolo ABCD sia H la proiezione di A sulla diagonale BD. Si sa che DH=36 a e HB=64a. Determinare le misure della base e dell’altezza di un rettangolo A’B’C’D’, simile al dato, sapendo che il rapporto tra le aree di ABCD a A’B’C’D’ è 16/49.
  24. Un triangolo isoscele ha il lato di 10 cm e la base di 12 cm. Calcolare la misura x, in centimetri, del raggio del cerchio inscritto.
  25. La base di un triangolo isoscele è 8 cm e il lato è 5 cm; determinare il lato del quadrato inscritto avente un lato sulla base.
  26. Nel triangolo ABC i lati AB,BC e AC misurano rispettivamente 5a,7a e 4a. Determinare sul lato AB un punto D tale che, conducendo la corda DE parallela ad AC e la corda DF parallela a BC, il parallelogrammo DECF risulti un rombo.
  27. I cateti AB e BC del triangolo rettangolo ABC sono rispettivamente 12 e 16 cm. Determinare un punto D sul cateto AB in modo che sia verificata la relazione seguente

        \[\frac {CE^2-DE^2}{EF\cdot AD - AE \cdot DE}=7\]

    , essendo E la proiezione ortogonale di D sull’ipotenusa AC ed F la proiezione di E sul cateto BC.

  28. Si considera un triangolo isoscele ABC di base BC=2a e lato AB=3a. Determinare un punto P sul lato AC in modo che, detta H la sua proiezione su BC, si abbia PC^2+BH^2=4a^2. In corrispondenza al punto P che è soluzione del problema si calcoli la misura di BP.
  29. Nel triangolo isoscele acutangolo ABC, di base AB, la perpendicolare al lato BC, condotta per B, incontra il prolungamento del lato AC in D e si sa che il segmento BD è doppio del segmento AD. Determinare le lunghezze dei cateti del triangolo rettangolo CBD e della base del triangolo isoscele sapendo che l’area del triangolo CDB è 24 cm^2.
  30. Il perimetro di un triangolo isoscele è 16a e la base supera di 2a l’altezza relativa alla base. Determinare la diagonale del rettangolo di perimetro 10a inscritto nel triangolo dato.

 

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