Lorenzo scrive: Esercizio di trigonometria

Oggetto: Problema di trigonometria

Corpo del messaggio:
Un trapezio rettangolo ABCD circoscritto a una circonferenza ha gli angoli retti in A e in D e l’angolo acuto in B è di 54°. Sapendo che il perimetro è 20 \sqrt 5, calcola l’area e la lunghezza del lato obliquo BC.

Trapeziorettangolocircoscritto

Risposta dello staff

Per definizione sappiamo che un trapezio qualsiasi circoscritto ad una circonferenza ha uguale la somma dei lati opposti, e di conseguenza avremo:

    \[AD+BC=AB+CD.\]

Ora, sapendo questo, possiamo affermare che queste due somme siano proprio uguali al semiperimetro, e quindi:

    \[AD+BC=AB+CD=\frac 12 \mbox {2p}=\frac 12 20 \sqrt 5 = 10 \sqrt 5\]

Tracciando l’altezza del trapezio dal vertice C, perpendicolare al lato AB, avremo:

CB=x

CH=AD=10\sqrt 5-x

Ma sappiamo anche che:

CH=CB sen (54^\circ)

da cui:

10\sqrt 5 -x = x \frac {1+\sqrt 5}{4}

40\sqrt 5-4x=x+x\sqrt 5

5x+x\sqrt 5=40\sqrt 5

x(5+\sqrt 5)=40\sqrt 5

x=\frac {40\sqrt 5}{5+\sqrt 5} \frac {5-\sqrt 5}{5-\sqrt 5}

x=\frac {40\sqrt 5(5-\sqrt 5)}{20}

x=10(\sqrt 5-1).

Avremo:

CB=10(\sqrt 5-1)

CH=AD=10\sqrt 5 - 10\sqrt 5 +10=10

Per calcolare l’area, ovviamente non ci servirà calcolare il singolo valore delle basi, in quanto sappiamo già quanto vale la loro somma e quindi:

    \[A_{ABCD}=\frac {(AB+CD) \cdot CH}{2}=\frac {10\sqrt 5 \cdot 10}{2}=50\sqrt 5\]

 

 

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