Equazione reciproca 6

ax^3-(a^2-a+1)x^2-(a^2-a+1)x+a=0

Essendo un’equazione reciproca ammetterà sempre come soluzione uno tra \pm 1.

In questo caso ammetterà come soluzione -1 e quindi usiamo ruffini per scomporre:

a -a^2+a-1 -a^2+a-1 a
-1 -a a^2+1 -a
a -a^2-1 a 0

 

Quindi:

ax^3-(a^2-a+1)x^2-(a^2-a+1)x+a=(x+1)(a x^2 -(a^2+1)x + a)

Distinguiamo i 2 casi:

  • x+1=0
x=-1
  • a x^2 -(a^2+1)x + a=0

a=a

b=-(a^2+1)

c=a

x_{\frac 12}= \frac {a^2+1\pm \sqrt {a^4+2a^2+1-4a^2}}{ 2a}

x_{\frac 12}=\frac {a^2+1 \pm \sqrt {a^4-2a^2+1} }{2a}

x_{\frac 12}=\frac {a^2+1 \pm \sqrt {(a^2-1)^2} }{2a}

x_{\frac 12}=\frac {a^2+1 \pm (a^2-1) }{2a}

x_1=\frac {a^2+1- a^2+1 }{2a}= \frac {2}{2a} =\frac 1a

x_2=\frac {a^2+1+a^2-1 }{2a}= \frac {2a^2}{2a} = a.

 

Quindi l’equazione ax^3-(a^2-a+1)x^2-(a^2-a+1)x+a=0 ammetterà come soluzioni:

x=\frac 1a \, \, \lor \, \, x= a \, \, \lor \, \, x=-1

 

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