Equazione reciproca 9

(a-1)x^3-(a^2-a+1)x^2+(a^2-a+1)x-a+1=0

Essendo un’equazione reciproca ammetterà sempre come soluzione uno tra \pm 1.

In questo caso ammetterà come soluzione 1 e quindi usiamo ruffini per scomporre:

a-1 -a^2+a-1 a^2-a + 1 -a+1
+1 a-1 -a^2+2a-2 a-1
a-1 -a^2+2a-2 a-1 0

 

Quindi:

(a-1)x^3-(a^2-a+1)x^2+(a^2-a+1)x-a+1=(x-1)((a-1)x^2-(a^2-2a+2) x+a-1)

Distinguiamo i 2 casi:

  • x-1=0
x=1
  • (a-1)x^2-(a^2-2a+2) x+a-1=0

a=a-1

b=-a^2+2a-2

c=a-1

x_{\frac 12}= \frac {a^2-2a+2 \pm \sqrt {a^4-4a^3+8a^2-8a+4-4(a-1)^2}}{2(a-1)}

x_{\frac 12}= \frac {a^2 -2a+2 \pm \sqrt {a^4-4a^3+8a^2-8a+4-4a^2+8a-4}}{2(a-1)}

x_{\frac 12}=\frac {a^2 -2a + 2 \pm \sqrt {a^4-4a^3+4a^2}}{2(a-1)}

x_{\frac 12}=\frac {a^2 - 2a +2 \pm \sqrt {a^2(a^2-4a+4)}}{2(a-1)}

x_{\frac 12}=\frac {a^2 -2a +2 \pm \sqrt {a^2(a-2)^2}}{2(a-1)}

x_{\frac 12}=\frac {a^2 -2a +2 \pm (a(a-2))}{2(a-1)}

x_{\frac 12}=\frac {a^2 -2a +2\pm (a^2-2a)}{2(a-1)}

x_1=\frac {a^2 -2a +2- a^2 + 2a }{2(a-1)}=\frac {2}{2(a-1)}=\frac {1}{a-1}

x_2=\frac {a^2 -2a +2 + a^2 - 2a }{2(a-1)}=\frac {2(a-1)^2 }{2(a-1)}=a-1.

 

Quindi l’equazione (a-1)x^3-(a^2-a+1)x^2+(a^2-a+1)x-a+1=0 ammetterà come soluzioni:

x=\frac {1}{a-1} \, \, \lor \, \, x=a-1  \, \, \lor \, \, x=1

 

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