Equazione reciproca 8

x^3-(2\sqrt2+1)x^2+(2\sqrt2+1)x-1=0

Essendo un’equazione reciproca ammetterà sempre come soluzione uno tra \pm 1.

In questo caso ammetterà come soluzione 1 e quindi usiamo ruffini per scomporre:

1 -2\sqrt 2 -1 2\sqrt 2 + 1 -1
1 1 -2\sqrt 2 1
1 -2\sqrt 2 1 0

 

Quindi:

x^3-(2\sqrt2+1)x^2+(2\sqrt2+1)x-1=(x-1)(x^2-2\sqrt {2} x+1)

Distinguiamo i 2 casi:

  • x-1=0
x=1
  • x^2-2\sqrt {2}x+1=0

a=1

b=-2\sqrt 2

c=1

x_{\frac 12}= \frac {2\sqrt 2 \pm \sqrt {8-4}}{2}

x_{\frac 12}=\frac {2\sqrt 2 \pm \sqrt {4} }{2}

x_{\frac 12}=\frac {2 \sqrt 2 \pm 2 }{2}

x_1=\frac {2 \sqrt 2 - 2 }{2}=\sqrt 2 - 1

x_2=\frac {2 \sqrt 2 + 2 }{2}=\sqrt 2 + 1.

 

Quindi l’equazione x^3-(2\sqrt2+1)x^2+(2\sqrt2+1)x-1=0 ammetterà come soluzioni:

x=\sqrt 2 - 1 \, \, \lor \, \, x=\sqrt 2 + 1 \, \, \lor \, \, x=1

 

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