Esercizi sui limiti notevoli 2

Esercizio 6

  • \lim_{x\to 0} \frac{2 sen x +3x-4x^2}{3 sen x -x}

Svolgimento

\lim_{x\to 0} \frac{2 sen x +3x-4x^2}{3 sen x -x} =

 \lim_{x\to 0} \frac{2x \frac {sen x}{x} +3x-4x^2}{3x \frac {sen x}{x} -x} =

 \lim_{x\to 0} \frac{2x +3x-4x^2}{3x -x} = \lim_{x\to 0} \frac{5x-4x^2}{2x} = \lim_{x\to 0} \frac{x(5-4x)}{2x} = \frac 5 2

 

Esercizio 7

  • \lim_{x\to 0} \frac{sen^2 x+2x^2+x^3}{4x^2+5sen^2 x}

Svolgimento

\lim_{x\to 0} \frac{sen^2 x+2x^2+x^3}{4x^2+5sen^2 x}=

\lim_{x\to 0} \frac{ x^2 \frac {sen^2x}{x^2}+2x^2+x^3}{4x^2+5x^2 \frac {sen^2x}{x^2}} =

\lim_{x\to 0} \frac{ x^2 +2x^2+x^3}{4x^2+5x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{ x^2 (3+x)}{9x^2}=\frac 3 9 = \frac 1 3

Esercizio 8

  • \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1-cos x}}{x}

Svolgimento

\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1-cos x}}{x} =

\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x^2  \frac{ 1-cosx }{x^2}}}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{\frac{ x^2 }{2}}}{x} = \sqrt {\frac 1 2} = \frac{\sqrt 2} {2}

Esercizio 9

  • \lim_{x\to 0} \frac{sen^2 x}{1-cos^3 x}

Svolgimento

\lim_{x\to 0} \frac{sen^2 x}{1-cos^3 x} =\lim_{x\to 0} \frac{x^2  \frac{sen^2 x}{x^2} }{(1-cos x)(1+cosx+cos^2x)} =

\lim_{x\to 0} \frac{x^2 }{3x^2 \frac{1-cosx }{x^2}} = \frac{1 }{\frac 3 2} = \frac 2 3

 

Esercizio 10

  • \lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^5-1}{x}

Svolgimento

 

Poniamo (1+x)^5 -1 = z

x\to 0 \Leftrightarrow z\to 0

e quindi (1+x)^5 = 1 + z

prendiamo i logaritmi in base e di entrambi i membri:

5 log (1+x)=log(1+z)

Da quanto osservato deriva

\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^5-1}{x}= \lim_{x\to 0, z\to 0} \frac{z}{x} =

\lim_{x\to 0, z\to 0} (\frac{5log(1+x)}{x}*\frac{z}{log(1+z)})=

\lim_{x\to 0} \frac{5log(1+x)}{x}*\lim_{z\to 0}\frac{z}{log(1+z)}=5*1=5

 

 

 

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