Esercizio 13 Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno

Traccia

5 sen^2 x - 8 \sqrt 3 senx cos x + 17 cos^2 x = 8

Svolgimento

Per risolvere questa equazione possiamo utilizzare il metodo di:

  • moltiplicare 8 per sen^2x+cos^2x di modo che risulti una moltiplicazione per 1;
  • dividere tutto per cos^2x in modo da avere un’equazione in funzione della sola tg.

5 sen^2 x - 8 \sqrt 3 senx cos x + 17 cos^2 x = 8sen^2x+8cos^2x

Imponendo che cosx \neq 0, otteniamo:

5 tg^2 x - 8 \sqrt 3 tg x + 17  = 8tg^2x+8

-3tg^2x -8\sqrt 3 tg x +9 =0

3tg^2x + 8\sqrt 3 tg x - 9 =0

tg_{\frac 12}x= \frac {-8\sqrt 3 \pm \sqrt {192+108}}{6}

tg_{\frac 12}x= \frac {-8\sqrt 3 \pm \sqrt {300}}{6}

tg_{\frac 12}x= \frac {-8\sqrt 3 \pm 10\sqrt {3}}{6}

tg_1x=\frac {-8\sqrt 3 - 10\sqrt {3}}{6}=-3\sqrt 3

tg_2x=\frac {-8\sqrt 3 + 10\sqrt {3}}{6}=\frac {\sqrt3}{3}

da cui avremo come soluzione:

x=arctg(-3\sqrt 3) + k180^\circ

x=30^\circ+k180^\circ

 

 

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