Esercizio 8 Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno

Traccia

2 sen^2 x - \sqrt 3 sen x cos x - cos^2 x = \frac 12

4 sen^2 x - 2\sqrt 3 sen x cos x - 2cos^2 x = 1

Svolgimento

Per risolvere questa equazione possiamo utilizzare il metodo di:

  • moltiplicare 1 per sen^2x+cos^2x di modo che risulti una moltiplicazione per 1;
  • dividere tutto per cos^2x in modo da avere un’equazione in funzione della sola tg.

4 sen^2 x - 2\sqrt 3 sen x cos x - 2cos^2 x = sen^2x+cos^2x

Imponendo che cosx \neq 0, otteniamo:

4 tg^2 x - 2\sqrt 3 tg x  - 2 = tg^2x+1

3 tg^2 x - 2\sqrt 3 tg x  - 3 =0

tg_{\frac 12}x= \frac {2\sqrt 3 \pm \sqrt {12+36}}{6}

tg_{\frac 12}x= \frac {2\sqrt 3 \pm \sqrt {48}}{6}

tg_{\frac 12}x= \frac {2\sqrt 3 \pm 4\sqrt {3}}{6}

tg_1x=\frac {2\sqrt 3 - 4\sqrt {3}}{6}=- \frac {\sqrt 3}3

tg_2x=\frac {2\sqrt 3 + 4\sqrt {3}}{6}=\sqrt 3

da cui avremo come soluzione:

x=150^\circ + k180^\circ

x=60^\circ+k180^\circ

 

 

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