Esercizio 14 Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno

Traccia

(2+\sqrt 2) sen ^2 x + (2-\sqrt 2) cos ^2 x + 2\sqrt 2 sen x cos x = 2

Svolgimento

Per risolvere questa equazione possiamo utilizzare il metodo di:

  • moltiplicare 2 per sen^2x+cos^2x di modo che risulti una moltiplicazione per 1;
  • dividere tutto per cos^2x in modo da avere un’equazione in funzione della sola tg.

(2+\sqrt 2) sen ^2 x + (2-\sqrt 2) cos ^2 x + 2\sqrt 2 sen x cos x = 2sen^2x+2 cos^2x

Imponendo che cosx \neq 0, otteniamo:

2tg^2x+\sqrt 2 tg ^2 x + 2-\sqrt 2  + 2\sqrt 2 tg x = 2tg^2x+2

\sqrt 2 tg^2x +2\sqrt 2 tg x-\sqrt 2 =0

tg^2x +2 tg x-1 =0

tg_{\frac 12}x= \frac {-2 \pm \sqrt {4+4}}{2}

tg_{\frac 12}x= \frac {-2 \pm \sqrt {8}}{2}

tg_{\frac 12}x= \frac {-2 \pm 2\sqrt2 }{2}

tg_1x=\frac {-2 - 2\sqrt2}{2}=-\sqrt 2 -1

tg_2x=\frac {-2+2\sqrt2}{2}=\sqrt 2-1

da cui avremo come soluzione:

x=157,5^\circ + k180^\circ

x=67,5^\circ+k180^\circ

 

 

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