Esercizio 15 Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno

Traccia

3 cos^2 x + \sqrt 3 sen x cos x - sen^2 x = \frac {11}{4}

12 cos^2 x + 4\sqrt 3 sen x cos x - 4sen^2 x = 11

Svolgimento

Per risolvere questa equazione possiamo utilizzare il metodo di:

  • moltiplicare 11 per sen^2x+cos^2x di modo che risulti una moltiplicazione per 1;
  • dividere tutto per cos^2x in modo da avere un’equazione in funzione della sola tg.

12 cos^2 x + 4\sqrt 3 sen x cos x - 4sen^2 x = 11sen^2x+11 cos^2x

Imponendo che cosx \neq 0, otteniamo:

12  + 4\sqrt 3 tg x - 4tg^2 x = 11tg^2x+11

-15tg^2x+ 4\sqrt 3 tg x +1= 0

15tg^2x - 4\sqrt 3 tg x -1= 0

tg_{\frac 12}x= \frac {4\sqrt 3 \pm \sqrt {48+60}}{30}

tg_{\frac 12}x= \frac {4\sqrt 3 \pm \sqrt {108}}{30}

tg_{\frac 12}x= \frac {4\sqrt 3 \pm 6\sqrt 3 }{30}

tg_1x=\frac {4 -6}{30}\sqrt 3=-\frac {1}{15}\sqrt 3

tg_2x=\frac {4+6}{30}\sqrt 3=\frac{\sqrt 3}{3}

da cui avremo come soluzione:

x=arctg(-\frac {\sqrt 3}{15}) + k180^\circ

x=30^\circ+k180^\circ

 

 

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