Esercizi equazioni di secondo grado: Problema 10 di geometria piana

Soluzione e svolgimento del seguente problemi di geometria piana.

 

  • In un triangolo isoscele la base supera di a l’altezza, mentre ciascuno dei due lati congruenti supera di a la base. Trovare il perimetro e l’area del triangolo.

 

Definiamo con b la base, con h l’altezza e con l i lati del triangolo isoscele. Dai dati otteniamo che:

b=h+a

l=b+a=h+2a.

Dalle proprietà del triangolo isoscele dobbiamo ricordare che l’altezza cade perpendicolarmente sul punto medio della base, così da dividere il triangolo isoscele in 2 triangoli rettangoli.

Sfruttando il teorema di Pitagora su questo triangolo venutosi a formare, otteniamo:

l^2=h^2+(\frac 1 2 b)^2.

Sostituendo nell’ultima le due equazioni precedenti, otteniamo:

(h+2a)^2=h^2+(\frac 1 2 (h+a))^2

h^2+4ah+4a^2=h^2+\frac 1 4(h^2+2ah+a^2)

h^2+4ah+4a^2-h^2-\frac {h^2+2ah+a^2}{4}=0

\frac {16ah+16a^2-h^2-2ah-a^2}{4}=0

-h^2+14ah+15a^2=0

h^2-14ah-15a^2=0

h_\frac 1 2= \frac {14 a\pm \sqrt{196 a^2+60 a^2}}{2}

h_\frac 1 2= \frac {14 a\pm \sqrt{256 a^2}}{2}

h_\frac 1 2= \frac {14 a \pm 16 a}{2}

h_1= \frac {14+16}{2} a=\frac {30}{2} a=15a

h_2=\frac {14-16}{2} a=-\frac 2 2  a=-a

Visto che h_2 è negativa, questa soluzione non è accettabile in quanto una misura deve essere necessariamente positiva.

Quindi l’unica soluzione accettabile è: h=15a, da cui

b=16a

l=17a

2p=2l+b=17a+17a+16a=50a

A= \frac 1 2 b*h=\frac 1 2 16 a * 15 a=120a^2

 

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