Esercizi equazioni di secondo grado: Problema 8 di geometria piana

Soluzione e svolgimento del seguente problemi di geometria piana.

 

  • I lati di un rettangolo sono lunghi 20 cm e 30 cm. Aumentando i lati di due segmenti di eguale lunghezza, l’area aumenta di 336 cm^2. Calcolare le lunghezze di tali segmenti.

Definendo con b e h la base e l’altezza del nuovo rettangolo, con A_r l’area del primo rettangolo, con A_R l’area del rettangolo allungato e con x l’aumento della lunghezza dei lati otteniamo che (tralascio, ove possibile per evitare problemi di visualizzazione, le unità di misura):

b=20 +x

h=30+x

A_R=A_r+336 \mbox { cm}^2

b*h=[(20*30)+336] \mbox { cm}^2=(600+336)\mbox { cm}^2=936\mbox { cm}^2

Sostituendo nell’equazione dell’area le prime due, otteniamo:

(20+x)(30+x)=936

600+20x+30x+x^2-936=0

x^2+50x-336=0

x_\frac 1 2 =\frac {-50\pm \sqrt {2500+1344}}{2}

x_\frac 1 2 =\frac {-50\pm \sqrt {3844}}{2}

x_\frac 1 2 =\frac {-50\pm 62}{2}

x_1=\frac {-50+62}{2}=\frac {12}{2}=6

x_2=\frac {-50-62}{2}=\frac {-112}{2}=-56

 

Ovviamente x_2 non è accettabile come soluzione in quanto un aumento non può essere negativo.

Di conseguenza l’unica soluzione accettabile è: x=6 \mbox { cm}, di conseguenza le due nuove dimensioni del rettangolo saranno:

b=26 \mbox { cm}

h=36 \mbox { cm}.

 

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