Esercizi equazioni di secondo grado: Problema 5 di geometria piana

Soluzione e svolgimento del seguente problemi di geometria piana.

 

  • Un rettangolo ha il perimetro di 80 cm e la base di 26 cm. Determinare i lati di un secondo rettangolo interno al data, con i lati equidistanti dai lati del primo e di area 28 cm^2

Sia 2p il perimetro, b la base e h l’altezza del primo rettangolo.

Dai dati otteniamo che:

2p=80 \mbox { cm}

b=26 \mbox { cm}

e quindi:

2p=2b+2h=80 \mbox { cm}

2h+52 \mbox { cm} = 80 \mbox { cm}

2h=(80-52)\mbox { cm}

2h=28 \mbox { cm}

h=14\mbox { cm}

Ora, visto che il rettangolo è all’interno dell’altro, e ogni lato deve essere equidistante dai lati di quello esterno, possiamo chiamare la distanza con 2d (usiamo il 2 perchè le distanze ci sono da ambo le parti del rettangolo), così i lati x e y del nuovo rettangolo saranno:

x=b-2d

y=h-2d

Quindi il calcolo dell’area del rettangolo interno sarà (evito per comodità di usare le unità di misura…):

A=x*y=(b-2d)(h-2d)=(14-2d)(26-2d)=4d^2-40(2d)+364=28

(2d)^2-40(2d)+336=0

2d_{\frac 1 2} =\frac {40\pm \sqrt {1600-1344}}{2}=\frac {40\pm \sqrt {256}}{2}=\frac {40\pm 16}{2}

2d_1=\frac {40+16}{2}=\frac {56}{2}=28

2d_2=\frac {40-16}{2}=\frac {24}{2}=12

2d_1 è una soluzione non accettabile perchè, ricordando che questo valore rappresenta la distanza tra i due lati dei rettangoli, questo valore farebbe si che il lato del rettangolo interno abbia misura negativo.

Di conseguenza, l’unica soluzione accettabile è 2d=12 \mbox { cm}, così le dimensioni del rettangolo interno sono:

x=26-12=14 \mbox { cm}

y=14-12=2 \mbox { cm}.

 

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