Esercizi equazioni di secondo grado: Problema 12 di geometria piana

Soluzione e svolgimento del seguente problemi di geometria piana.

 

  •  In un triangolo rettangolo un cateto è lungo cm 45 e la sua proiezione sull’ipotenusa è i \frac {9}{16} della proiezione dell’altro cateto sull’ipotenusa. Trovare perimetro ed area del triangolo.

 

In base ai dati poniamo:

\overline {AB}=45 \mbox { cm}

\overline{HC}=x

\overline {AH}=\frac {9}{16}x.

Per risolvere il problema dobbiamo sfruttare il teorema di Euclide:

AB^2=AH*AC

Ci manca trovare AC, ma che possiamo trovare come somma delle due proiezioni; quindi:

AC=AH+HC=\frac {9}{16}x +x=\frac {25}{16}x

Sostituendo il tutto nell’equazione del Th di Euclide otteniamo:

45^2=\frac {9}{16}x * \frac {25}{16}x

Senza svolgere tutti i calcoli, possiamo riscrivere il tutto così:

\frac {9*25}{16^2}x^2=45^2

e, facendo la radice quadrata di ambo i membri otteniamo:

\frac {3*5}{16} x = 45

da cui:

x=\frac {16}{15} 45=48.

Quindi:

HC=48 \mbox { cm}

AH=\frac {9}{16} 48 \mbox { cm}=27 \mbox { cm}

AC=(48+27)\mbox { cm}=75 \mbox { cm}

BC lo possiamo trovare con il teorema di pitagora o con il teorema di Euclide…. Sfruttiamo il secondo, per rapidità di calcolo:

BC^2=CH*AC=48*75 \mbox { cm}^2

BC=\sqrt {3600}\mbox { cm}=60\mbox { cm}.

Avendo ottenuto i 2 cateti e l’ipotenusa possiamo calcolare perimetro e area:

2p= (45+60+75)\mbox { cm}=180 \mbox { cm}

A=\frac 1 2 (45*60) \mbox { cm}^2=1350 \mbox { cm}^2

 

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