Esercizi equazioni di secondo grado: Problema 11 di geometria piana

Soluzione e svolgimento del seguente problemi di geometria piana.

 

  •  Determinare le lunghezze dei lati di un trapezio rettangolo, di area \frac {43}{4} a^2, sapendo che la diagonale minore è lunga 5a e che l’altezza supera di a la base minore.

Dai dati otteniamo che:

A=\frac 1 2 (AB+CD)AD= \frac {43}4 a^2

AC=5a

AD=CD+a

 

Chiamiamo CD=x, e sfruttiamo il teorema di Pitagora sul triangolo ACD. Otterremo:

 

AD^2+CD^2=AC^2

(x+a)^2+x^2=25a^2

x^2+2ax+a^2+x^2-25a^2=0

2x^2+2ax-24a^2=0

x^2+ax-12a^2=0

x_\frac 1 2 = \frac {-a\pm \sqrt {a^2+48a^2}}{2}

x_\frac 1 2 = \frac {-a\pm \sqrt {49a^2}}{2}

x_\frac 1 2 = \frac {-a\pm 7a}{2}

x_1= \frac {-a+7a}{2}=\frac 6 2 a=3a

x_2=\frac {-a-7a}{2}=-\frac 8 2 a=-4a (non accettabile perchè negativo…)

Quindi:

CD=3a

AD=4a

 

Per trovare AB sfruttiamo la conoscenza dell’area del trapezio, ottenendo:

\frac 1 2 (AB+CD)AD= \frac {43}4 a^2

Chiamando AB=y, otteniamo

\frac 1 2 (y+3a)(4a)=\frac {43}{4} a^2

2ay+6a^2-\frac {43}{4}a^2=0 (moltiplicando per 4 e dividendo per a):

8y+24a-43a=0

 

 

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