Esercizio 19 Disequazioni irrazionali relazionate da polinomio

Traccia

\sqrt{2x^2-5x+3}>x-\frac 52

Svolgimento

Avendo una radice quadrata maggiore di un polinomio avremo necessità di lavorare su due sistemi, imponendo determinate condizioni e poi unendo le soluzioni:

\begin{cases} x- \frac 52 \geq 0 \\ 2x^2-5x+3 > x^2- 5x+\frac {25}{4} \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x-\frac 52 < 0 \\ 2x^2-5x+3 \geq 0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq \frac 52  \\ x^2+3 -\frac {25}{4}>0 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x <\frac 52  \\ 2x^2-5x+3 \geq 0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq \frac 52  \\ x^2 -\frac {13}{4}>0 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x <\frac 52  \\ 2x^2-5x+3 \geq 0 \end{cases}

Le disequazione di secondo grado saranno verificate per:

    \[x < -\frac {\sqrt {13}}{2} \quad \lor \quad x > \frac {\sqrt {13}}{2} \quad \wedge \quad x \leq 1 \quad \lor \quad x \geq \frac 32\]

Unendo

\begin{cases} x \geq \frac 52  \\ x < -\frac {\sqrt {13}}{2} \quad \lor \quad x > \frac {\sqrt {13}}{2} \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x <\frac 52  \\ x \leq 1 \quad \lor \quad x \geq \frac 32 \end{cases}

Mettendo a sistema le soluzioni, otterremo subito che la soluzione sarà:

    \[x \geq \frac 52 \quad \wedge \quad   x \leq 1 \quad \lor \quad \frac 32 \leq x < \frac 52\]

.

 

Ci accorgiamo facilmente che questa disequazione sarà sempre verificata per x \leq 1 \quad \lor \quad x \geq \frac 32

 

 

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