Esercizio 24 Disequazioni irrazionali relazionate da polinomio

Traccia

\sqrt{x^2-8x+15}+4 > x

\sqrt{x^2-8x+15}> x-4

Svolgimento

Avendo una radice quadrata maggiore di un polinomio avremo necessità di lavorare su due sistemi, imponendo determinate condizioni e poi unendo le soluzioni:

\begin{cases} x-4 \geq 0 \\ x^2-8x+15 > x^2-8x+16 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x-4 < 0 \\ x^2-8x+15 \geq 0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq 4 \\ 0x > 1 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x < 4 \\ x^2-8x+15 \geq 0 \end{cases}

Notiamo che la disequazione 0x<1 è impossibile mentre la disequazione di secondo grado sarà verificate per

    \[x \leq 3 \quad \lor \quad x \geq 5\]

Unendo

\begin{cases} x \geq 4 \\ \mbox { impossibile } \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x < 4 \\ x \leq 3 \quad \lor \quad x \geq 5 \end{cases}

Mettendo a sistema le soluzioni, otterremo subito che la soluzione sarà:

    \[\mbox { impossibile } \quad  \mbox{  e  }\quad    x \leq 3\]

.

 

Ci accorgiamo facilmente che questa disequazione sarà sempre verificata per x \leq 3

 

 

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