Esercizio 2 Disequazioni irrazionali relazionate da polinomio

Traccia

\sqrt{x^2-x}\geq 2x

 

Svolgimento

Avendo una radice quadrata maggiore di un polinomio avremo necessità di lavorare su due sistemi, imponendo determinate condizioni e poi unendo le soluzioni:

\begin{cases} 2x \geq 0 \\ x^2-x \geq 4x^2 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} 2x < 0 \\ x^2-x \geq 0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq 0 \\ -3x^2-x \geq 0 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x < 0 \\ x^2-x \geq 0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq 0 \\ 3x^2+x \leq 0 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x < 0 \\ x^2-x \geq 0 \end{cases}

Le due disequazioni di secondo grado saranno verificate per

    \[-\frac 13 \leq x \leq 0\]

e

    \[x \leq 0 \quad \lor \quad x \geq 1\]

Unendo

\begin{cases} x \geq 0 \\ -\frac 13 \leq x \leq 0 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x <0 \\ x \leq 0 \quad \lor \quad x \geq 1 \end{cases}

Mettendo a sistema le soluzioni, otterremo subito che la soluzione sarà:

    \[x=0 \quad  \mbox{  e  }\quad    x < 0\]

.

 

Ci accorgiamo facilmente che questa disequazione sarà sempre verificata per x \leq 0

 

 

 

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