Esercizio 25 Disequazioni irrazionali relazionate da polinomio

Traccia

\sqrt{4x^2+3x-1}+3-2x>0

\sqrt{4x^2+3x-1}>2x-3

Svolgimento

Avendo una radice quadrata maggiore di un polinomio avremo necessità di lavorare su due sistemi, imponendo determinate condizioni e poi unendo le soluzioni:

\begin{cases} 2x-3 \geq 0 \\ 4x^2+3x-1 > 4x^2-12x+9 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} 2x-3 < 0 \\ 4x^2+3x-1 \geq 0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq \frac 32 \\ 15x> 10 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x < \frac 32 \\ 4x^2+3x-1 \geq 0 \end{cases}

Notiamo che la disequazione di secondo grado sarà verificate per

    \[x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq \frac 14\]

Unendo

\begin{cases} x \geq \frac 32 \\ x> \frac 23 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x < \frac 32 \\ x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq \frac 14 \end{cases}

Mettendo a sistema le soluzioni, otterremo subito che la soluzione sarà:

    \[x \geq \frac 32 \quad  \mbox{  e  }\quad x \leq -1 \quad \lor \quad    \frac 14 \leq  x < \frac 32\]

.

 

Ci accorgiamo facilmente che questa disequazione sarà sempre verificata per x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq \frac 14

 

 

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