Esercizio 9 Disequazioni irrazionali relazionate da polinomio

Traccia

\sqrt{8x-x^2}\geq x

 

Svolgimento

Avendo una radice quadrata maggiore di un polinomio avremo necessità di lavorare su due sistemi, imponendo determinate condizioni e poi unendo le soluzioni:

\begin{cases} x \geq 0 \\ 8x-x^2 \geq x^2 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x < 0 \\ 8x-x^2 \geq 0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq 0 \\ 2x^2-8x \leq 0 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x < 0 \\ x^2-8x \leq 0 \end{cases}

Le disequazioni di secondo grado saranno verificata per

    \[0 \leq x \leq 4 \quad \wedge \quad 0 \leq x \leq 8 \]

Unendo

\begin{cases} x \geq 0 \\ 0 \leq x \leq 4 \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x < 0 \\ 0 \leq x \leq 8 \end{cases}

Mettendo a sistema le soluzioni, otterremo subito che la soluzione sarà:

    \[0 \leq x \leq 4 \quad \lor \quad  \mbox{ impossibile}\]

.

 

Ci accorgiamo facilmente che questa disequazione sarà sempre verificata per 0 \leq x \leq 4

 

 

 

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