Esercizio 11 Disequazioni letterali

Traccia

a^2x^2-2a^2x+a^2-1>0, \qquad a>0 a-1 su a e a+1 su a

Svolgimento

Prima di tutto è forndamentale calcolare il \Delta, che ci può permettere di trovare immediatamente la soluzione:

a=a^2

b=-2a^2

c=a^2-1

\Delta= b^2-4ac=4a^4-4a^2(a^2-1)=4a^4-4a^4+4a^2=4a^2

Ora, analizzando la tabella al seguente link:

Disequazioni di secondo grado

vediamo che dobbiamo trovare le soluzioni dell’equazione associata:

a^2x^2-2a^2x+a^2-1=0

x_{\frac 12}=\frac {2a^2\pm 2a}{2a^2}

x_1=\frac {2a^2-2a}{2a^2}=\frac {2a(a-1)}{2a^2}=\frac {a-1}{a}

x_1=\frac {2a^2+2a}{2a^2}=\frac {2a(a+1)}{2a^2}=\frac {a+1}{a}

Quindi, avremo che la disequazione

a^2x^2-2a^2x+a^2-1>0

è verificata per x < \frac {a-1}{a} \quad \lor \quad x> \frac {a-1}{a}.
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