Esercizio 16 Disequazioni letterali

Traccia

(a-1)x^2-2ax>0

Svolgimento

Prima di tutto è forndamentale calcolare il \Delta, che ci può permettere di trovare immediatamente la soluzione:

a=a-1

b=-2a

c=0

\Delta= b^2-4ac=4a^2

Ci troveremo di fronte a più casi:

  • a >1 \Rightarrow \mbox { coefficiente della } x^2 >0

analizzando la tabella al seguente link:

Disequazioni di secondo grado

vediamo che dobbiamo trovare le soluzioni dell’equazione associata:

(a-1)x^2-2ax=0

x[(a-1)x-2a]=0

x_1=0

x_2=\frac {2a}{a-1}

Quindi la disequazione sarebbe verificata per:

x<0 \quad \lor \quad x>\frac {2a}{a-1}

  • a=1

La disequazione diventa di primo grado:

-2ax>0

2ax<0

x<0

  • 0<a<1 \Rightarrow \mbox { coefficiente della } x^2 <0

Cambiando segno al coefficiente e verso della disuguaglianza otteniamo:

(1-a)x^2+2ax<0

analizzando la tabella al seguente link:

Disequazioni di secondo grado

vediamo che dobbiamo trovare le soluzioni dell’equazione associata:

(1-a)x^2+2ax=0

x[(1-a)x+2a]=0

x_1=\frac {2a}{a-1}

x_2=0

Quindi la disequazione sarebbe verificata per:

\frac {2a}{a-1}<x<0.

  • a=0

La disequazione diventerebbe

(a-1)x^2>0

(1-a)x^2<0

analizzando la tabella al seguente link:

Disequazioni di secondo grado

vediamo che, senza bisogno di calcolare le soluzioni, avremo che la disequazione è impossibile.

  • a<0 \Rightarrow \mbox { coefficiente della } x^2 <0

Cambiando segno al coefficiente e verso della disuguaglianza otteniamo:

(1-a)x^2+2ax<0

analizzando la tabella al seguente link:

Disequazioni di secondo grado

vediamo che dobbiamo trovare le soluzioni dell’equazione associata:

(1-a)x^2+2ax=0

x[(1-a)x+2a]=0

x_1=0

x_2=\frac {2a}{a-1}

Quindi la disequazione sarebbe verificata per:

0<x<\frac {2a}{a-1}.
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