Esercizio 12 Equazioni in cui figurano valori assoluti di espressioni contenenti l’incognita

Traccia

\left |2-x \right | = 5+ \left | 2x+1\right|

Svolgimento

Qui dovremo analizzare 3 casi, studiano prima sul grafico i comportamenti dei singoli valori assoluti:

  • 2-x>0 \Rightarrow x<2
  • 2x+1>0 \Rightarrow x>-\frac 12
x<-\frac 12 -\frac 12 \leq x \leq 2 x>2
x<2 +++ +++ —-
x>-\frac 12 —- +++ +++

 

Quindi dobbiamo studiare 3 sistemi, e dove segnalato, cambiare i segni ai valori assoluti:

  • Primo sistema:

\begin{cases} x<-\frac 12 \\  2-x  = 5 -2x -1 \end{cases}

\begin{cases} x<-\frac 12 \\  x = 2 \end{cases}

Questa soluzione non è accettabile.

  • Secondo sistema:

\begin{cases} -\frac 12 \leq x \leq 2 \\  2-x  = 5 +2x +1 \end{cases}

\begin{cases} -\frac 12 \leq x \leq 2 \\  -3x  = 4 \end{cases}

\begin{cases} -\frac 12 \leq x \leq 2 \\ x=- \frac 4 3 \end{cases}

Questa soluzione non è accettabile.

  • Terzo sistema:

\begin{cases} x>2 \\ x-2=5+2x+1 \end{cases}

\begin{cases} x>2 \\ -x=8 \end{cases}

\begin{cases} x>2 \\ x=-8 \end{cases}

Questa soluzione non è accettabile, quindi l’equazione iniziale è impossibile.

 

 

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