Esercizio 14 Equazioni in cui figurano valori assoluti di espressioni contenenti l’incognita

Traccia

1-\left | 2x+1 \right | + \left | x-3\right | - \left | x\right |=0

Svolgimento

Qui dovremo analizzare 4 casi, studiano prima sul grafico i comportamenti dei singoli valori assoluti:

  • 2x+1>0 \Rightarrow x>-\frac 12
  • x-3>0 \Rightarrow x>3
  • x>0
x<-\frac 12 -\frac 12<x<0 0<x<3 x>3
x>-\frac 12 —- +++ +++ +++
x>3 —- —- —- +++
x>0 —- —- +++ +++

 

Quindi dobbiamo studiare 4 sistemi, e dove segnalato, cambiare i segni ai valori assoluti:

  • Primo sistema:

\begin{cases} x \leq -\frac 12 \\  1+ 2x+1 - x+3 + x=0 \end{cases}

\begin{cases} x \leq -\frac 12 \\  2x=-5 \end{cases}

\begin{cases} x \leq -\frac 12 \\  x =-\frac {5}{2} \end{cases}

Questa soluzione è accettabile.

  • Secondo sistema:

\begin{cases} -\frac 12<x<0 \\  1- 2x-1 - x+3 + x=0 \end{cases}

\begin{cases} -\frac 12<x<0 \\  -2x=-3 \end{cases}

\begin{cases} -\frac 12<x<0 \\  x =\frac {3}{2} \end{cases}

Questa soluzione non è accettabile.

  • Terzo sistema:

\begin{cases} 0 \leq x \leq 3 \\  1- 2x-1 - x+3 - x=0 \end{cases}

\begin{cases} 0 \leq x \leq 3 \\  -4x=-3 \end{cases}

\begin{cases} 0 \leq x \leq 3 \\  x=\frac 34 \end{cases}

Questa soluzione è accettabile.

  • Quarto sistema:

\begin{cases} x>3 \\  1- 2x-1 + x -3 - x=0 \end{cases}

\begin{cases} x>3 \\  - 2x  =3 \end{cases}

\begin{cases} x>3 \\  2x  =-\frac 32 \end{cases}

Questa soluzione non è accettabile.

 

 

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