Archivi categoria: disequazione

Emanuele scrive: Esercizio valore assoluto

Oggetto: valore assoluto

Corpo del messaggio:

potreste risolvere questa disequazione in valore assoluto non capisco come farla grazie

Cadttura

 

Risposta dello staff

    \[\left| \frac {2+5x}{1-2x}\right | +2 >7\]

    \[\left| \frac {2+5x}{1-2x}\right |  >5\]

Risultando il valore assoluto maggiore di un numero positivo, questo implica che dobbiamo studiare separatamente due disequazioni:

 

    \[\frac {2+5x}{1-2x}<-5 \quad \lor \quad \frac {2+5x}{1-2x}>5\]

    \[\frac {2+5x}{1-2x} +5 <0 \quad \lor \quad \frac {2+5x}{1-2x}-5>0\]

    \[\frac {2+5x+5-10x}{1-2x} <0 \quad \lor \quad \frac {2+5x-5+10x}{1-2x}>0\]

    \[\frac {7-5x}{1-2x} <0 \quad \lor \quad \frac {15x-3}{1-2x}>0\]

Analizziamo le singole disequazioni:

  • \frac {7-5x}{1-2x} <0 \Rightarrow \frac {5x-7}{2x-1} <0 \Rightarrow \frac 12 <x<\frac 75
  • \frac {15x-3}{1-2x} >0 \Rightarrow \frac {15x-3}{2x-1} <0 \Rightarrow \frac 15 <x<\frac 12

Unendo le due la soluzione è proprio quella richiesta:

    \[\frac 15 <x<\frac 75 \mbox { con } x \neq \frac 12.\]

Volendo si può scrivere come intervalli separati:

    \[\frac 12 <x<\frac 75 \quad \lor \quad  \frac 15 <x<\frac 12.\]

 

 

 

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Samuele scrive: Esercizio sul valore assoluto

Oggetto: Equazioni con valore assoluto

Corpo del messaggio:

1)\frac { \left|2x^2-3x+1\right|}{x-2}=1

 

Risposta dello staff

Imponendo che x \neq 2, otteniamo:

\left|2x^2-3x+1\right|=x-2

Quindi avremo da risolvere due sistemi:

\begin{cases} 2x^2-3x+1=x-2 \\ x \geq 2 \end {cases} \quad \quad \begin{cases} 2x^2-3x+1=2-x \\ x < 2 \end {cases}

\begin{cases} 2x^2-4x+3=0 \\ x \geq 2 \end {cases} \quad \quad \begin{cases} 2x^2-2x-1=0\\ x < 2 \end {cases}

\begin{cases} x_{\frac 12}= \frac {4 \pm \sqrt {16-24}}{4} \\ x \geq 2 \end {cases} \quad \quad \begin{cases} x_{\frac 12}= \frac {2 \pm \sqrt {4+8}}{4} \\ x < 2 \end {cases}

\begin{cases} \mbox { impossibile } \Delta <0 \\ x \geq 2 \end {cases} \quad \quad \begin{cases} x_{\frac 12}= \frac {2 \pm 2\sqrt {2}}{4} \\ x < 2 \end {cases}

\begin{cases} \mbox { impossibile } \Delta <0 \\ x \geq 2 \end {cases} \quad \quad \begin{cases} x_{\frac 12}= \frac {1 \pm \sqrt {2}}{2} \\ x < 2 \end {cases}

Il secondo sistema ammetterà ambedue le soluzioni, poichè \frac {1+\sqrt 2}{2}<2.

Quindi l’equazione avrà come soluzioni:

    \[x_{\frac 12}= \frac {1 \pm \sqrt {2}}{2}.\]

 

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Eleonora scrive: Esercizi disequazioni fratte

Corpo del messaggio:
Salve,avrei bisogno di una mano per risolvere questi esercizi.Grazie in anticipo.
Disequazioni fratte numeriche :
(x-4)*(x+2)
__________ ≥0
x*(x^2+1)

(1-x)^4*(x-2)^3
_______________ >0
x*(x-3)^2

x +  7x+4
___  ______  <0

x-3 (x-3)^2

 

Analizziamo caso per caso:

    \[\frac {(x-4)(x+2)}{x(x^2+1)} \geq0\]

  • x-4 \geq 0 \iff x \geq 4
  • x+2 \geq 0 \iff x \geq -2
  • x >0
  • x^2+1 >0 \forall x perchè somma di due quadrati.

Facendo il grafico otteniamo che la disequazione è verificata per:

-2 \leq x <0 \quad \lor \quad x \geq 4

 

Analizziamo caso per caso:

    \[\frac {(1-x)^4(x-2)^3}{x(x-3)^2} >0\]

  • (1-x)^4 > 0 \iff x \neq 1
  • (x-2)^2 > 0 \iff x > 2
  • x >0
  • (x-3)^2 >0 \iff x \neq 3.

Facendo il grafico otteniamo che la disequazione è verificata per:

x <0 \quad \lor \quad x > 2 \mbox { con } x \neq 3

 

Analizziamo caso per caso:

    \[\frac {x}{x-3} + \frac {7x+4}{(x-3)^2}<0\]

    \[ \frac {x^2-3x+7x+4}{(x-3)^2}<0\]

    \[ \frac {x^2+4x+4}{(x-3)^2}<0\]

    \[ \frac {(x+2)^2}{(x-3)^2}<0\]

    \[ \left(\frac {x+2}{x-3}\right)^2<0.\]

Essendo un quadrato per definizione questa non potrà mai essere verificata.

 

 

 

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Donato scrive: Aiutooooo

Oggetto: aiutatemi ancora una volta vi prego

Corpo del messaggio:
Potete rispondermi al piu presto??
Grazie in anticipo
E la numero 92 nella foto

 

download

 

    \[x(x+1)+\sqrt 5(1-x)-2<2(\sqrt5-1)\]

    \[x^2+x+\sqrt 5 -\sqrt 5 x -2 <2\sqrt 5-2\]

    \[x^2+x-\sqrt 5x -\sqrt 5   <0\]

    \[x^2-x(\sqrt 5-1) -\sqrt 5   <0\]

    \[x_{\frac 12}=\frac {\sqrt 5-1 \pm \sqrt {5+1-2\sqrt 5+4\sqrt 5}}{2}=\frac {\sqrt 5-1 \pm \sqrt {5+1+2\sqrt 5}}{2}=\frac {\sqrt 5-1 \pm \sqrt {(\sqrt5+1)^2}}{2}=\frac {\sqrt 5-1 \pm  (\sqrt5+1)}{2}.\]

Quindi:

x_1=\frac {\sqrt 5-1 - \sqrt5-1}{2}=-1

x_2=\frac {\sqrt 5-1 + \sqrt5+1}{2}=\sqrt 5

La disequazione è quindi verificata per:

    \[-1<x<\sqrt 5.\]

 

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Fabio scrive: Esercizio disequazione

Oggetto: disequazione

Corpo del messaggio:

\frac {x}{x^2+4+2x}-\frac {4x^2}{x^3-8}+\frac {3x+<wbr />1}{x^2-4}<0

 

Per risolvere questa disequazione bisognerà prima trovare il minimo comune multiplo tra i denominatori, scomponendo ove possibile:

\frac {x}{x^2+4+2x}-\frac {4x^2}{(x-2)(x^2+2x+4)}+\frac {3x+<wbr />1}{(x-2)(x+2)}<0

\frac {x(x^2-4)-4x^2(x+2)+(3x+1)(x^2+2x+4)}{(x+2)(x-2)(x^2+2x+4)}<0

\frac {x^3-4x-4x^3-8x^2+3x^3+6x^2+12x+x^2+2x+4}{(x+2)(x-2)(x^2+2x+4)}<0

\frac {-x^2+10x+4}{(x+2)(x-2)(x^2+2x+4)}<0

\frac {x^2-10x-4}{(x+2)(x-2)(x^2+2x+4)}>0

Analizziamo i singoli fattori:

  • x^2-10x-4>0

x_{\frac 12}=\frac {10 \pm \sqrt {100+16}}{2}=\frac {10 \pm \sqrt {116}}{2}=\frac {10 \pm 2\sqrt {29}}{2}=5\pm \sqrt {29}

Andando a vedere la tabella delle disequazioni, possiamo dire che questa disequazione è verificata per:

x< 5- \sqrt {29} \, \, \quad \lor \quad \, \, x > 5 +\sqrt {29}

  • x+2>0

x>-2

  • x-2>0

x>2

  • x^2+2x+4>0

Questa sarà verificata per ogni x perchè il \Delta=4-16 risulta essere negativo.

 

Analizzando il grafico otteniamo il risultato della disequazione iniziale:

$x<-2 \quad \lor \quad 5-\sqrt{29}

 

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Nicolò scrive: Esercizio sistemi di disequazioni

Oggetto: sistemi di disequazioni

Corpo del messaggio:

  • \begin{cases} \frac {x-2}{x+3}\geq 0\\ 7+2x>-\frac {x^2}{7} \end{cases}
  • \begin{cases} (x+1)^2 \leq 16 \\ x(x-7) \geq 4(5-2x)\end{cases}

 

Risolviamo il primo sistema:

 

\begin{cases} \frac {x-2}{x+3}\geq 0\\ 7+2x>-\frac {x^2}{7} \end{cases}

Per la prima disequazione discutiamo numeratore e denominatore ottenendo:

  • x-2 \geq 0 \iff x \geq 2
  • x+3 >0 \iff x>-3

Avremo quindi:

\begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ x^2+14x +49 >0 \end{cases}

\begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ (x+7)^2 >0 \end{cases}

La seconda disequazione è verificata sempre a meno di x=7.

Avremo quindi:

\begin{cases} x < -3 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ x \neq 7 \end{cases}

Che risulterà anche essere la soluzione del sistema iniziale:

    \[x<-3 \quad \lor \quad x \geq 2 \mbox { con  } x \neq 7.\]

 

Secondo sistema:

\begin{cases} (x+1)^2 \leq 16 \\ x(x-7) \geq 4(5-2x)\end{cases}

Sulla prima sfruttiamo una particolarità delle disequazioni di secondo grado, ovvero:

y^2 \leq a^2 \iff -a \leq y \leq a, così da avere:

\begin{cases} -4 \leq x+1 \leq 4 \\ x^2-7x \geq 20-8x\end{cases}

\begin{cases} -5 \leq x \leq 3 \\ x^2+x-20 \geq 0\end{cases}

\begin{cases} -5 \leq x \leq 3 \\ (x-4)(x+5) \geq 0\end{cases}

\begin{cases} -5 \leq x \leq 3 \\ x \leq -5 \quad x \geq 4\end{cases}

Come notiamo dalle soluzioni, questo sistema ammette come soluzione solo x=-5

 

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Alessio scrive: Esercizio disequazione di secondo grado

Oggetto:

Corpo del messaggio:
4x+5-x^2(x+2)<0

4x+5-x^3-2x^2<0

x^3 +2x^2-4x-5>0

Con Ruffini

1 2 -4 -5
-1 -1 -1 5
1 1 -5 0

 

notiamo che questo polinomio è divisibile per x+1, così da ottenere:

(x+1)(x^2+x-5)>0

Da cui:

x+1 >0 \iff x>-1

e

x^2+x-5>0

x_{\frac 12}=\frac {-1 \pm \sqrt {1+20}}{2}=\frac {-1 \pm \sqrt {21}}{2}.

da cui:

x<\frac {-1 - \sqrt {21}}{2} \quad \lor \quad x>\frac {-1 + \sqrt {21}}{2}.

Facendo la tabella noteremo che la disequazione sarà verificata per:

\frac {-1 - \sqrt {21}}{2} -1 \frac {-1 - \sqrt {21}}{2}
—– —— —- —– ++++ +++++ +++++
+++++ —– —- —- —– —— +++++
—– +++++ +++++ +++++ —- —– +++++

    \[\frac {-1 - \sqrt {21}}{2}<x<-1 \quad \lor \quad x>\frac {-1 + \sqrt {21}}{2}.\]

 

 

 

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Fernando scrive: Esercizio sui radicali

Oggetto: radicali

Corpo del messaggio:
Ciao, non ricordo come risolvere questo caso di radicali, potreste aiutarmi? Nell’ultima parte mi sono perso maggiormente perchè non so come procedere con quelle radici. Grazie.

IMG_20130923_101542_mini

 

 

 

Il problema è nel \frac {\delta}{4}:

    \[\frac {\delta}{4}=\left(\frac b2 \right)^2-ac=\left (-2\sqrt 2)^2+42=8+42=50.\]

Quindi ci sono due errori:

  • Ipotizzando che, come hai detto tu, (-2\sqrt2)^2=4\sqrt2, sia giusto, comunque questo non potrebbe essere sommato a 42, ma sarebbe rimasto semplicemente 4\sqrt 2 + 42
  • Ma il vero problema è che (-2\sqrt2)^2=(-2)^2\cdot (\sqrt2)^2=4 \cdot 2=8!!!

Proseguendo quindi:

x_{\frac 12 }= \frac {2\sqrt 2 \pm \sqrt {50}}{2}=\frac {2\sqrt 2 \pm 5\sqrt {2}}{2}

x_1=-\frac 32 \sqrt 2

x_2=\frac 72 \sqrt 2.

 

 

 

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Eleonora scrive: Aiuto esercizi

Corpo del messaggio:
1) Trovare le coordinate dei punti intersezione della retta r passante per i seguenti punti:

A = (10,00 ; -27,00)

B = ( -20,00 ; 33,00)

e la parabola di equazione y= -x^2 -8

2) Risolvere il seguente sistema di disequazioni

\begin {cases} \frac {2x^2 -5x -3}{  4x -1} \geq 0 \\  x^2 -7x +6  \geq 0 \end {cases}

 

 

Risposta dello staff

Per trovare la retta passante per quei due punti, basterà sfruttare l’equazione:

\frac {y-y_A}{y_B-y_A}=\frac {x-x_A}{x_B-x_A}

sostituendo i valori delle incognite

\frac {y+27}{33+27}=\frac {x-10}{-20-10}

\frac {y+27}{60}=\frac {x-10}{-30}

y+27=-2x+20

y=-2x-7

Mettiamo ora a sistema la retta con la parabola:

\begin{cases} y=-2x-7 \\ y= -x^2-8\end{cases}

\begin{cases} y=-2x-7 \\ -2x-7= -x^2-8\end{cases}

\begin{cases} y=-2x-7 \\ x^2-2x+1= 0\end{cases}

\begin{cases} y=-2x-7 \\ (x-1)^2= 0\end{cases}

\begin{cases} y=-2x-7 \\ x= 1\end{cases}

\begin{cases} y=-2-7=-9 \\ x= 1\end{cases}

Quindi avrà un unico punto di intersezione:

C(1,-9)

2) Risolvere il seguente sistema di disequazioni

\begin {cases} \frac {2x^2 -5x -3}{  4x -1} \geq 0 \\  x^2 -7x +6  \geq 0 \end {cases}

Analizziamo ogni singola disequazione:

  • 2x^2-5x-3 \geq0

Le due soluzioni saranno:

x_{\frac 12}= \frac {5 \pm \sqrt {25+24}}{4}=\frac {5 \pm \sqrt {49}}{4}=\frac {5 \pm 7}{4}

Quindi:

x_1=-\frac 12

x_2= 3

La disequazione sarà quindi verificata per :

x \leq -\frac 12 \quad \lor \quad x \geq 3

  • 4x-1 >0

x > \frac 14

-\frac 12 \frac14 3
++++ ++++
++++ ++++ ++++
++++ ++++ ++++ ++++

 

La fratta sarà quindi verificata per

-\frac 12 \leq x < \frac 14 \quad \lor \quad x \geq 3

  • x^2-7x+6 \geq 0

Le due soluzioni saranno:

x_{\frac 12}= \frac {7 \pm \sqrt {49-24}}{2}=\frac {7 \pm \sqrt {25}}{2}=\frac {7 \pm 5}{2}

Quindi:

x_1=1

x_2= 6

La disequazione sarà quindi verificata per :

x \leq 1 \quad \lor \quad x \geq 6

Mettiamo tutto a sistema per ottenere:

\begin{cases} -\frac 12 \leq x < \frac 14 \quad \lor \quad x \geq 3 \\x \leq 1 \quad \lor \quad x \geq 6 \end{cases}

-\frac12 \frac 14 1 3 6
++++ ++++ ++++ ++++ ++++
++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++
++++ ++++ ++++ ++++

 

La soluzione finale sarà:

-\frac 12 \leq x < \frac 14 \quad \lor \quad x \geq 6

 

 

 

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Esercizi svolti su disequazioni irrazionali

Cari tutti

abbiamo appena terminato lo svolgimento di 30 esercizi sulle disequazioni irrazionali relazionate da un polinomio

Al seguente link potete trovare tutte gli esercizi risolti

http://www.matebook.it/algebra/disequazioni/esercizi-disequazioni-di-secondo-grado/disequazioni-irrazionali-relazionate-da-un-polinomio/

 

Cliccando su ciascuna traccia si aprirà la spiegazione dettagliata dell’esercizio svolto

 

Alla prossima

 

 

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Alessia scrive: Esercizio Disequazioni fratte di secondo grado

Una studentessa chiede

Oggetto: Disequazioni fratte di secondo grado

Corpo del messaggio:
a) \frac { x^2-4}{x^2-1} \geq 1

b) \frac {6-x}{x-3}-\frac {3}{2x-6}<-2

 

 

Risposta dello staff

 

a) \frac { x^2-4}{x^2-1} \geq 1

\frac { x^2-4}{x^2-1} -1 \geq 0

\frac { x^2-4-x^2+1}{x^2-1}  \geq 0

\frac {-3}{x^2-1}  \geq 0

\frac {3}{x^2-1}  \leq 0

Dato che il numeratore è sempre positivo, studiamo la positività del denominatore:

x^2-1 >0

Senza bisogno di grossi calcoli, verifichiamo che il denominatore è positivo per

x<-1 \quad \lor \quad x>1

Facendo il grafico otteniamo:

-1 1
+++
++++
—- +++ ++++ +++ +++

 

 

e quindi la disequazione iniziale sarà verificata per:

-1<x<1

 

b) \frac {6-x}{x-3}-\frac {3}{2x-6}<-2

\frac {6-x}{x-3}-\frac {3}{2(x-3)}+2<0

\frac {12-2x-3+4x-12}{2(x-3)}<0

\frac {2x-3}{2(x-3)}<0

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

  • N >0 \Rightarrow x > \frac 32
  • D>0 \Rightarrow x > 3

Facendo il grafico otteniamo:

 

\frac 32 3
+++ +++ +++ +++
++++
+++ +++

 

che darà come risultato:

x<\frac 32 e x>3

 

 

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