Leandro scrive: Problema con le percentuali

Oggetto: Problemi con le percentuali

Corpo del messaggio:
1) Un libro oggi costa € 12,50. Se il suo prezzo viene aumentato del 3%, quanto costerà dopo l’aumento?
[€ 12,88]

Per calcolare il nuovo prezzo del libro dovremo fare questo calcolo:

p=12,50 \cdot (1+3\%)=12,50 \cdot \frac {103}{100}=12,88

2)Ho letto 320 pagine di un romanzo, pari all’80% del libro. Quante pagine mancano alla fine?
[80]

Dato che alla fine del libro mancherà il 20%, e che questo è esattamente un quarto della parte di libro che ho già letto, mi mancheranno esattamente:

p=\frac 14 \cdot 320=80

3)Riscaldando una sbarra di alluminio, questa si allunga del 3 per mille e raggiunge una lunghezza di 2,526 m. Quanto era lunga inizialmente la sbarra?
[2,5184 m]

Per calcolare la lunghezza iniziale della sbarra dovremo fare il calcolo inverso fatto nel primo esercizio, facendo attenzione che però, questa volta, non è espresso in percentuale…

2,526=x(1+ \frac {3}{1000})

Quindi avremo che:

x=2,526 \cdot \frac {1000}{1003} \mbox { m}=2,5184 \mbox { m}

4)In un’azienda il 15% del personale è costituito da impiegati, il 20% da tecnici specializzati e infine vi sono 273 operai. Quanti sono gli impiegati e quanti i tecnici?
[63; 84]

Calcoliamo subito il totale del personale sapendo che gli operai sono esattamente il 65%.

Il numero totale del personale sarà:

p=273 \cdot  \frac {100}{65}=420

Da cui, il numero di impiegati sarà:

i= 420 \cdot \frac {15}{100}=63

e il numero di tecnici sarà:

t= 420 \cdot \frac {20}{100}=84

 

5)Il prezzo di vendita di un divano è di € 1625. Calcola quanto è costato al rivenditore sapendo che ha realizzato un utile del 28%.
[€ 1269,53]

Sappiamo, come visto prima negli esercizi precedenti che:

1625=x(1+28\%)

da cui ricaviamo il prezzo iniziale:

x= 1625 \cdot \frac {100}{128}=1269,53 €.

 

 

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Marco scrive: Esercizio razionalizzazione

Oggetto: Dubbio in matematica-Razionalizzazione del denominatore

Corpo del messaggio:
Salve, oggi ho fatto il compito di matematica sui radicali, e volevo verificare se ho svolto correttamente questo esercizio:

Grazie mille

 

Risposta dello staff

    \[\frac {xy}{3\sqrt {yz}}=\frac {xy}{3\sqrt {yz}} \cdot \frac {\sqrt {yz}}{\sqrt {yz}}=\]

    \[=\frac {xy\sqrt {yz}}{3yz}=\frac 13 \frac {x\sqrt {yz}}{z}\]

 

 

 

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Gabriel scrive: problemi sui teoremi di Euclide

Corpo del messaggio:
Considera un triangolo rettangolo ABC,di ipotenusa AB e sia CH l’altezza relativa all’ipotenusa. L’ipotenusa AB misura 4a ed e divisa dal punto H in due parti tali che HB = 2AH. Determina la misura dell’altezza CH.

 

triangolorettangolo

Risposta dello staff

Dai dati avremo che:

AB=4a

AH+HB=4a

AH+2AH=4a

AH=\frac 43 a

BH=\frac 23 a.

Con il teorema di Euclide ricaviamo subito l’altezza sapendo che:

CH^2=AH \cdot BH

CH= \sqrt {\frac 43 \cdot \frac 23}a=\frac 23 a \sqrt 2

 

 

 

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Nicola scrive: Problemi con le percentuali

Oggetto: Problemi con le percentuali

Corpo del messaggio:
1) Due persone ereditano € 25000. Una delle due ha diritto al 25% dell’eredità. A quale percentuale ha diritto la seconda persona? Qual è la somma ricevuta da ciascuna persona?
[75%; €6250; €18750]

2)Due negozi espongono due articoli uguali. In uno l’articolo costa € 14,25, nell’altro costa € 16,95, ma il negozio pratica alla cassa uno sconto del 20%. Dove andresti a comprare l’articolo, per risparmiare?
[Nel secondo negozio]

3)Un rettangolo ha l’altezza lunga 14 cm; essa corrisponde al 70% della lunghezza della base. Calcola il perimetro e l’area del rettangolo.
[68 cm; 280 cm^2]

4)Un negoziante, rivendendo un cappotto che aveva acquistato per € 125, ha guadagnato € 26. Che percentuale di guadagno ha realizzato?
[20,8%]

5)In un anno € 30000 producono in banca un interesse di € 650. Che tasso pratica la banca? Quanto potrei guadagnare in totale in un anno impiegando altri € 15000?
[2,17%; € 975]

 

Risposta dello staff

 

  • Se una delle due avrà ereditato il 25%, vorrà dire che l’altra avrà ereditato:

E_2=1-E_2=1-\frac {25}{100}=\frac {75}{100}=75 \%

Per le somme avremo che:

E_1=\frac {25}{100} 25000=6250 €.

E_2=(25000-6250)= 18750 €.

  • Dobbiamo andare a calcolare il prezzo dell’articolo nel secondo negozio.

P_2=16,95(1-20 \%)=\frac {80}{100} 16,95=13,56

Ci accorgiamo che nel secondo negozio il prezzo è più conveniente.

  • Sapendo del rapporto che c’è tra altezza e lato ricaviamo la base:

h=\frac {70}{100}b

b=\frac {100}{70} 14 \mbox { cm}=20 \mbox { cm}

Quindi calcoliamo perimetro e area:

2p=2 \cdot (14+20)\mbox { cm}=68\mbox { cm}

A=(14 \cdot 20)\mbox { cm}^2=280\mbox { cm}^2

  • Per capire che percentuale ha guadagnato possiamo calcolare il guadagno ottenuto e dividerlo per il prezzo pagato:

P=\frac {26}{125}=0,208

Moltiplicando per 100 così da renderlo sotto forma di percentuale otteniamo 20,8%.

  • Per calcolare il tasso applicato dalla banca basterà dividere gli interessi ottenuti per la somma iniziale.

T=\frac {650}{30000}=0,0216666

Moltiplicando per 100 otteniamo la percentuale 2,17%.

Per capire quanto posso guadagnare aggiungendo dei soldi dovremo moltiplicare la nuova quota per lo stesso tasso:

G_2=(30000+15000) \cdot 2,17 \%=45000 \cdot 2,17 \% =975

 

 

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Leandro scrive: Esercizi di aritmetica

Corpo del messaggio:
1) Un blocco costituito da una lega di zinco e rame pesa complessivamente 2 kg. Si sa che in esso il 45% è costituito da zinco. Calcola quanto zinco e quanto rame sono stati necessari per produrlo.
[900g; 1100g]

2)Su un cartone di latte da 500 ml c’è scritto:
“Latte parzialmente scremato. Grasso max 1,8%”.
Quanti ml di grasso contiene il cartone di latte?
Se un bicchiere medio contiene 200 ml di latte, quanti ml di grasso contiene?
[9 ml; 3,6 ml]

3)In pizzeria, con gli amici, ricevi il seguente conto:
” 4 pizze: €20. Bibite: €5.            2 dessert:€4. Servizio: 15%(sul totale)”
Quanto dovete pagare in tutto?
[€ 33,35]

4) Un paese contava 12000 abitanti all’inizio del 2007. Durante l’anno i nati sono l’1,7% del totale degli abitanti e i morti sono il 2%. Calcola quanti sono i nati e quanti i morti nel 2007. Calcola inoltre qual è la popolazione all’inizio del 2008:
[204; 240; 11964]

 

 

Risposta dello staff

  • Sappiamo dalla traccia la quantità di zinco presente nella lega, quindi:

Q_Z=45 \% \, \,  2 \mbox { kg}=\frac {45}{100}\, \,  2000\mbox{ g}=900 \mbox { g}

Q_R=2000 \mbox { g}-Q_Z=1100 \mbox { g}

  • Sappiamo dalla traccia la percentuale di grasso max, quindi:

G= \frac {1,8}{100}\, \,  500 \mbox{ ml}=9 \mbox{ ml}

Per calcolare quanti ml di grasso ci sono in 200 ml di latte eseguiamo la seguente proporzione:

G_{200}:G_{500}=200:500

G_{200}=\frac 25 \, \, 9 \mbox { ml}=3,6\mbox { ml}

  • Calcoliamo subito il totale:

T=(20+5+4)=29 €.

Da qui dovremo aggiungere il 15%:

T_1= T(1+15 \%)=(29 +\frac {15}{100}\, \, 29)=(29+4,35)=33,35 €.

  • Per calcolare la quantità di nati e morti nell’anno basterà calcolare la percentuale sulla popolazione iniziale:

N=\frac {1,7}{100}\, \, 12000=204

M=\frac {2}{100}\, \, 12000=240

La popolazione nel 2008 sarà:

P_{2008}=P_{2007}+N-M=12000+204-240=11964

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maria scrive: Equazione goniometrica

Corpo del messaggio:
Nell’esercizio da voi proposto (3senx alla seconda – cosx alla seconda = 0)
non capisco perchè TGX alla seconda che vale in questo caso 1/3 diventa , dopo avere fatto la radice per scoprire TGX,  radice3/3.

 

    \[3sen^2x - cos^2x=0\]

Risposta dello staff

 

Non so bene al numero al quale ti riferisci, xò dividendo per cos^2x otteniamo:

    \[3tg^2x-1=0\]

da cui:

    \[tg^2x = \frac 13\]

    \[tgx = \pm \sqrt {\frac 13}\]

    \[tgx = \pm \frac {1}{\sqrt 3}\]

    \[tgx = \pm \frac {1}{\sqrt 3} \frac {\sqrt 3}{\sqrt 3}\]

    \[tgx =  \pm \frac {\sqrt 3}{ 3}\]

Credo che la richiesta fossero questi passaggi, giusto?

 

 

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Leonardo scrive: Problemi con le proporzioni

Oggetto: Problemi con le proporzioni

Corpo del messaggio:
1) La distanza tra i punti A e B sta alla distanza tra i punti B e C come 4 sta a 5. Sapendo che BC=15 cm, calcola AB.
[12 cm]

2)Considera i punti A,B e C in proporzione come nell’esercizio precedente. Sapendo che AC=18 m, calcola la lunghezza di BC.
[10 cm]

3)Determina x e y nella seguente catena di rapporti:

x:2=27:18=9:y

4)Determina x,y e z nella seguente catena di rapporti:

x:2=y:3=z:5  essendo x+y+z=160

[32; 48; 80]

 

Risposta dello staff

  • AB:BC=4:5

da cui:

AB=\frac 45 BC=\frac 45 \cdot 15 \mbox { cm}=12 \mbox { cm}

  • AB:BC=4:5

dai dati sappiamo che:

AB+BC=18 \mbox { cm}

Quindi avremo che:

BC: (AB+BC)=5:(4+5)

BC:18=5:9

BC=\frac 59 \cdot 18 \mbox { cm}=10\mbox { cm}

  • x:2=27:18=9:y

x=\frac {27}{18} \cdot 2=3

y=\frac {18}{27} \cdot 9=6

  • x:2=y:3=z:5  essendo x+y+z=160

x:2=(x+y+z):(2+3+5)

x=\frac {160}{10} \cdot 2=32

y:3=(x+y+z):(2+3+5)

y=\frac {160}{10} \cdot 3=48

z:5=(x+y+z):(2+3+5)

z=\frac {160}{10} \cdot 5=80

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Sabrina scrive: Equazione di secondo grado

Oggetto: non riesco risolvere questo esercizio

Corpo del messaggio:
×-4√3/√3-× –  ×²-6/(√3-×)(3√3-×)=√3(√3×-10)/3√3-×

3+2-12×/4×+6  +10ײ-25-15/4׳-9×=3/9-4ײ

8/×-1  +  2(11×-16)/׳-4ײ+5×-2=6×+10/ײ-3×+2   –  6/ײ-2×+1

×+3√3/×-3√3  +×-3√3/×+3√3   -1=√3(×+27√3)+2(√3-×)/ײ-27

 

Risposta dello staff

  • \frac {x-4\sqrt 3}{\sqrt 3 -x} - \frac {x^2-6}{(\sqrt 3-x)(3\sqrt 3-x)}=\sqrt 3 \frac {\sqrt 3 x -10}{3\sqrt 3-x}

Imponendo che x \neq \sqrt 3 e che x \neq 3\sqrt 3, risolviamo:

(x-4\sqrt 3)(3\sqrt 3-x)-x^2+6=\sqrt 3(\sqrt 3x-10)(\sqrt 3-x)

3x\sqrt 3-x^2-36+4x\sqrt 3-x^2+6=3x\sqrt 3 -3x^2-30+10x\sqrt 3

x^2-6x\sqrt 3=0

x(x-6\sqrt 3)=0

x_1=0

x_2=6\sqrt 3

  • Nel secondo esercizio la traccia non è molto chiara. Non si capisce bene quali siano numeratore e denominatore nelle varie frazioni.

 

 

  • \frac {8}{x-1}  + \frac { 2(11x-16)}{x^3-4x^2+5x-2}=\frac {6x+10}{x^2-3x+2}   - \frac { 6}{x^2-2x+1}

\frac {8}{x-1}  + \frac { 2(11x-16)}{(x-1)^2(x-2)}=\frac {6x+10}{(x-1)(x-2)}   - \frac { 6}{(x-1)^2}

Imponendo che x \neq 1 e che x \neq 2 otteniamo:

8(x^2-3x+2)+2(11x-16)=(6x+10)(x-1)-6(x-2)

8x^2-24x+16+22x-32=6x^2-6x+10x-10-6x+12

2x^2-18=0

x^2=9

x=\pm 3

 

  • \frac {x+3\sqrt 3}{x-3\sqrt 3}  +\frac {x-3\sqrt 3}{x+3\sqrt 3}   -1=\frac {\sqrt 3(x+27\sqrt 3)+2(\sqrt 3-x)}{x^2-27}

Imponendo che x \neq \pm 3\sqrt 3 otteniamo:

(x+3\sqrt3)^2+(x-3\sqrt 3)^2-x^2-27=\sqrt 3(27\sqrt 3)+2(\sqrt 3-

x^2+6x\sqrt 3+27+x^2-6x\sqrt 3+27-x^2+27=x\sqrt 3 +81+2\sqrt 3-2x

x^2+2x-x\sqrt 3 -2\sqrt 3=0

(x+2)(x-\sqrt3)=0

x_1=-2

x_2=\sqrt 3

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Milena scrive: Espressione algebrica con modulo

Corpo del messaggio:
3/2|6-3x|=1/2(x+4) soluzione 7/5;11/4
Analizzando il modulo positivo ottengo 7/5 ma analizzando il modulo <0 ottengo:
6-3x>0 da cui x>3
Risolvendo ora l’espressione ottengo x=11/4
11/4>3 non è vera quindi la soluzione non è accettabile secondo me, perché il testo mi dice che la soluzione è 11/4?
Mi potete dare una spiegazione non riesco a capirla.
Grazie.

 

Risposta dello staff

Credo che l’errore fondamentale sia nel fatto che:

    \[6-3x>0\]

    \[-3x>-6\]

    \[3x<6\]

    \[x<2!!!\]

E quindi direi che la tua soluzione è perfetta!!!

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Simone scrive: Problema

Oggetto: problemi

Corpo del messaggio:
un triangolo ha un lato e l altezza a esso relativa che misurano rispettivamente 18 cm e 21 cm .
Le altezze relative agli altri due lati misurano rispettivamente 9cm e 14 cm .
Determina l ‘area e il perimetro

 

Risposta dello staff

Sapendo un lato e l’altezza relativa possiamo subito calcolare l’area del triangolo.

A=\frac 12 \cdot l \cdot h_l= \frac 12 \cdot 18 \cdot 21 \mbox { cm}^2=189 \mbox { cm}^2

l_2=\frac {2A}{h_{l_2}}=\frac {378}{9}\mbox { cm}=42\mbox { cm}

l_3=\frac {2A}{h_{l_3}}=\frac {378}{14}\mbox { cm}=27\mbox { cm}

Quindi il perimetro sarà:

2p=(18+42+27)\mbox { cm}=87 \mbox { cm}.

 

 

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Leandro scrive: Problemi con le proporzioni

Oggetto: Problemi con le proporzioni

Corpo del messaggio:
1)Per preparare 720 g di marmellata di pesche occorrono 1,8 kg di pesche e 360 g di zucchero. Se vogliamo preparare 2,5 kg di marmellata, quanti kilogrammi di pesche e quanto zucchero occorrono?
[6,25kg; 1250g]

2)Due soci si dividono gli utili della loro società nel rapporto di 5 a 7. Se il secondo riceve €5850 più del primo, quali sono gli utili dei due soci?
[€ 14625; € 20475]

3)Una tua amica di dà le dosi per l’impasto della pizza per 3 persone:

– 500 g di farina tipo 0;
– 30 g di lievito;
– 45 g di olio;
– 1 dl di acqua tiepida;
– sale q.b.

Volendo preparare la pizza per 7 tuoi amici, quali sono le nuove dosi per l’impasto?
[1,166 kg; 70 g; 105 g; 2,3 dl]

4) Nella pianta del progetto di un edificio è scritto: scala 1:150.
A quanti metri corrispondono 6 cm? Se il giardino ha le dimensioni di 12 m e 8,4 m, quali sono le sue lunghezze nella rapresentazione in scala?
[9 m; 8 cm; 5,6 cm]

 

Risposta dello staff

  • Le due proporzioni saranno:

0,72:1,8=2,5:x e

0,72:0,36=2,5:y

dove x e y sono le quantità in kg di pesche e zucchero. Avremo quindi:

x=\frac {2,5 \cdot 1,8}{0,72} \mbox { kg}=6,25 \mbox { kg}

y=\frac {2,5 \cdot 0,36}{0,72} \mbox { kg}=1,25 \mbox { kg}

  • Dai dati avremo:

x:(x+5850)=5:7 da cui

7x=5x+29250

2x=29250

x=14625

y=20475

  • Dalla traccia si evince che il rapporto di ogni quantità sarà 3 a 7…

Calcoliamo solo per il primo, tanto gli altri risultati si otterrano allo stesso modo:

x:500=7:3

x=\frac {7*500}{3}=1166,667 \mbox{ g}

e via dicendo per gli altri.

  • Essendo il rapporto 1 a 150 otteniamo:

x:6=150:1

x=900 \mbox { cm}=9 \mbox { m}

Ricaviamo le altre due misure in centimetri:

y:1200=1:150

y=\frac {1200}{150} \mbox { cm}=8 \mbox { cm}

z:840=1:150

z=\frac {840}{150} \mbox { cm}=5,6 \mbox { cm}

 

 

 

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Silvia scrive: Esercizio sui radicali

Oggetto: radicali

Corpo del messaggio:
non ho capito come si semplifica la somma di due numeri eleveti a potenza

esempio 4 elevato alla seconda + 2 elevato alla seconda sotto radice quadrata

Per favore aiutatemi, lunedì ho il compito in classe

 

Risposta dello staff

Non ho capito la richiesta ma andiamo ad analizzarla:

\sqrt {4^2+2^2}=\sqrt {(2^2)^2+2^2}=\sqrt {2^2(2^2+1)}=2\sqrt {4+1}=2 \sqrt 5

 

Sperando che la risposta sia coerente con la domanda effettuata…

 

 

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Rosa scrive: Esercizio di aritmetica

Oggetto: matematica

Corpo del messaggio:
Riscrivi sul quaderno le lunghezze in ordine crescente   1,52m-300km-125cm-300m-25dm-33hm-0,3dam-33dm-250mm-25m non o capito come si fa grazie

 

Risposta dello staff

Allora per prima cosa devi convertire tutte le lunghezze alla stessa unità di misura

Per semplicità le convertiremo all’unità di misura più piccola. In questo caso mm

Quindi

1,52m == 1520 mm

300km==300000000 mm

125cm==1250 mm

300m == 300000 mm

25 dm == 2500 mm

33 hm == 3300000 mm

0,3 dam == 3000 mm

250 mm == 250 mm

25 m ==25000 mm

 

Ora che abbiamo le lunghezze in mm possiamo ordinarli facilmente secondo il valore crescente.

250 mm, 1250 mm, 1520 mm,2500 mm, 3000 mm, 25000 mm, 300000 mm, 3300000 mm, 300000000 mm

 

 

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Domenico scrive: Esercizio di geometria

Oggetto: esercizi di geometria

Corpo del messaggio:
Calcola l’area della superficie e il volume del solido rappresentato nel disegno, nel quale i numeri indicano in centimetri le lunghezze dei segmenti accanto ai quali sono scritti.

taxi

Risposta dello staff

Per calcolare la superficie consideriamo i due parallelepipedi come se fossero uno sopra l’altro e poi alla somma delle due superfici sottraiamo una base del parallelepipedo verticale che altrimenti verrebbe calcolata due volte:

S_{ParOr}=(2 \cdot  (10 \cdot 3)+ 2 \cdot (10 \cdot 4)+ 2 \cdot (3 \cdot 4)) \mbox { cm}^2=(60+80+24)\mbox { cm}^2=164 \mbox { cm}^2

S_{ParVer}=(2 \cdot  (4 \cdot 3)+ 2 \cdot (7 \cdot 4)+ 2 \cdot (3 \cdot 7)) \mbox { cm}^2=(24+56+42)\mbox { cm}^2=122 \mbox { cm}^2

S_{Tot}=S_{ParOr}+S_{ParVer}-S_{comune}=(164+122-2 \cdot  (4 \cdot 3))\mbox { cm}^2=262 \mbox { cm}^2

Per calcolare il volume basterà fare la somma dei volumi:

V_{ParOr}=(3 \cdot 10 \cdot 4) \mbox { cm}^3=120 \mbox { cm}^3

V_{ParVer}=(3 \cdot 7 \cdot 4) \mbox { cm}^3= 84\mbox { cm}^3

V_{Tot}=V_{ParOr}+V_{ParVer}=(120+84) \mbox { cm}^3=204 \mbox { cm}^3

 

 

 

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Fabio scrive: Equazioni e disequazioni con valori assoluti

Oggetto: Equazioni e disequazioni con valori assoluti

Corpo del messaggio:

img016

 

Risposta dello staff

  • \frac {x+1}{\left|x\right|}<x

Distingueremo due casi:

    \[\begin{cases} x>0 \\ \frac {x+1}{x}<x \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x<0 \\ -\frac {x+1}{x}<x \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x>0 \\ \frac {x+1}{x}-x<0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x<0 \\ -\frac {x+1}{x}-x<0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x>0 \\ x+1-x^2<0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x<0 \\ x+1+x^2<0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x>0 \\ x^2-x-1>0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x<0 \\ \Delta <0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x>0 \\ x< \frac {1-\sqrt 5}{2} \quad \lor \quad x>\frac {1+\sqrt 5}{2} \end{cases}\]

Quindi la soluzione sarà:  x>\frac {1+\sqrt 5}{2}.

  • \frac {\left|x+1\right|}{3}<\frac {1}{\left|x-1\right|}

Distingueremo tre casi

    \[\begin{cases} x\leq -1 \\ \frac {-x-1}{3}<\frac {1}{1-x}  \end{cases} \quad \quad \begin{cases} -1<x<1 \\ \frac {x+1}{3}<\frac {1}{1-x}  \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x > 1 \\ \frac {x+1}{3}<\frac {1}{x-1}  \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x\leq -1 \\ \frac {-x-1}{3}-\frac {1}{1-x}<0  \end{cases} \quad \quad \begin{cases} -1<x<1 \\ \frac {x+1}{3}-\frac {1}{1-x}<0  \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x > 1 \\ \frac {x+1}{3}-\frac {1}{x-1}<0  \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x\leq -1 \\ \frac {-x+x^2-1+x-3}{3(1-x)}<0  \end{cases} \quad \quad \begin{cases} -1<x<1 \\ \frac {x-x^2+1-x-3}{3(1-x)}<0  \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x > 1 \\ \frac {x^2-x-x+1}{3(x-1)}<0  \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x\leq -1 \\ x^2<4  \end{cases} \quad \quad \begin{cases} -1<x<1 \\ -x^2-2<0  \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x > 1 \\ x^2-4<0  \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x\leq -1 \\ -2<x<2  \end{cases} \quad \quad \begin{cases} -1<x<1 \\ \forall x \in R  \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x > 1 \\  -2<x<2  \end{cases}\]

Le soluzioni saranno:

  1. -2<x\leq -1
  2. -1<x<1
  3. 1<x<2

Unendo tutto avremo -2<x<2 con x \neq 1.

  • \left| x^2\right|=x

Essendo x^2 sempre positivo, possiamo eliminare il valore assoluto e risolvere l’equazione semplice

x^2+x=0

x(x+1)=0

x_1=0

x_2=-1

  • \left|\frac 1x \right|=x-1

Distinguiamo due casi:

    \[\begin{cases} x>0 \\ \frac {1}{x}=x-1 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x<0 \\ \frac {1}{x}=1-x \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x>0 \\ x^2-x-1=0 \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x<0 \\ x^2-x+1=0 \end{cases}\]

    \[\begin{cases} x>0 \\ x= \frac {1 \pm \sqrt 5}{2} \end{cases} \quad \quad \begin{cases} x<0 \\ \Delta<0 \end{cases}\]

Nel primo sistema avremo una sola soluzione accettabile, ovvero x=\frac {1+\sqrt 5}{2}.

 

 

 

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