Esercizio 12 Equazioni parametriche

Traccia

Dire per quali valori di k le soluzioni dell’equazione x^2-6kx+9k^2-18k+5=0 sono concordi.

Svolgimento

x^2-6kx+9k^2-18k+5=0

Per capire per quali valori di k l’equazione avrà soluzioni reali, basterà semplicemente studiare la positività del \Delta.

a=1

b=-6k

c=9k^2-18k+5

\Delta=36k^2-4(9k^2-18k+5)

\Delta=36k^2-36k^2+72k-20

\Delta=4(18k-5)

Imponiamo ora che \Delta \geq 0 e avremo:

18k-5 \geq 0

k \geq \frac {5}{18}

Affinchè le due radici siano concordi deve accadere che:

  • \frac ca  \geq 0

9k^2-18k+5 \geq 0

k_{\frac 12}= \frac {18 \pm \sqrt {324-180}}{18}=\frac {18 \pm \sqrt {144}}{18}=\frac {18 \pm 12}{18}=\frac {3 \pm 2}{3}.

Senza bisogno di fare il grafico, possiamo direttamente dire che la disequazione sarà verificata per valori interni alle radici, ovvero:

k \leq \frac {1}{3} \quad \lor \quad k \geq \frac 53

 

Intersecando quest’ultima soluzione con le possibilità di ammettere soluzioni reali avremo la soluzione finale:

\frac {5}{18} \leq k \leq \frac 13 \qaud \lor \quad  k\geq  5/3

 

 

 

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