Esercizio 3 Equazioni parametriche

Traccia

Determinare per quali valori del parametro reale k le seguenti equazioni hanno soluzioni reali:x^2=\frac {2kx+1}{k-2}x-1

Svolgimento

x^2-\frac {2kx+1}{k-2}x+1=0

\frac {kx^2-2x^2 -2kx^2+x+k-2}{k-2}=0

\frac {(-2-k)x^2+x+k-2}{k-2}=0

Imponendo che k \neq 2 e cambiando di segno otteniamo:

(2+k)x^2-x-k+2=0

Per capire per quali valori di k l’equazione avrà delle soluzioni reali, basterà semplicemente studiare la positività del \Delta.

a=2+k

b=-1

c=2-k

\Delta=(-1)^2-4(2+k) (2-k)

\Delta=1-4(4-k^2)

\Delta=1-16+4k^2

\Delta=4k^2-15

Imponiamo ora che \Delta \geq 0 e avremo:

4k^2-15 \geq 0

Le soluzioni dell’equazione associata sono:

x=\pm \frac {\sqrt {15}}{2}

Quindi, andando a vedere la tabella delle disequazioni, il risultato sarà:

x \leq - \frac {\sqrt {15}}{2} \quad \lor \quad x \geq \frac {\sqrt {15}}{2} \mbox { con } x \neq 2

 

 

 

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