Esercizio 8 Equazioni parametriche

Traccia

Determinare i valori del parametro m per cui l’equazione x(x+2)=(4m-1)(4m+1) ha due soluzioni distinte, entrambe negative.

Svolgimento

x(x+2)=(4m-1)(4m+1)

x^2+2x+1-16m^2=0

Per capire per quali valori di a l’equazione avrà sempre soluzioni reali, basterà semplicemente studiare la positività del \Delta.

a=1

b=2

c=1-16m^2

\Delta=4-4(1-16m^2)

\Delta=64m^2

Imponiamo ora che \Delta \geq 0 e avremo:

64m^2 \geq 0

L’equazione associata ammetterà come soluzione:

a=1

e quindi, andando a vedere la tabella delle disequazioni, il risultato sarà:

\forall a \in R.

Affinchè le due radici siano negative deve accadere che:

  • -\frac ba <0
  • \frac ca >0

Andando a risolvere queste due disequazioni simultaneamente otterremo:

\begin {cases} -2<0 \\ 1-16m^2>0 \end{cases}

\begin {cases} -2<0 \\16m^2-1<0 \end{cases}

\begin {cases} \forall a \in R \\ -\frac 14 <m<\frac 14 \end{cases}

Intersecando le soluzioni, visto che queste comunque devono essere verificate contemporaneamente, si verifica subito che la soluzione richiesta è:

-\frac 14 <m <\frac 14 \mbox { con } m \neq 0.

 

 

 

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