Esercizio 11 Equazioni parametriche

Traccia

Data l’equazione: (k-1)x^2-2kx+3k=0, determinare k in modo che essa ammetta soluzioni concordi.

Svolgimento

(k-1)x^2-2kx+3k=0

Prima di tutto occorre capire per quali valori di k l’equazione avrà sempre soluzioni reali, e quindi, basterà semplicemente studiare la positività del \Delta.

a=k-1

b=-2k

c=3k

\Delta=4k^2-12k(k-1)

\Delta=4k^2-12k^2+12k

\Delta=-8k^2+12k

Imponiamo ora che \Delta \geq 0 e avremo:

-8k^2+12k \geq 0

4k(2k-3) \leq 0

Da cui avremo, andando a vedere la tabella delle disequazioni:

0 \leq k \leq \frac 32.

Affinchè le due radici siano concordi deve accadere che:

  • \frac ca >0

\frac {3k}{k-1} \geq 0

  • N\geq 0 \Rightarrow k  \geq  0
  • D>0 \Rightarrow k >1

Senza bisogno di fare il grafico, possiamo direttamente dire che la disequazione sarà verificata per valori esterni alle radici, ovvero:

k \leq 0 \quad \lor \quad k > 1.

 

Intersecando la possibilità che la disequazione abbia soluzione con la possibilità che abbia radici concordi, avremo la soluzione:

1 <x \leq \frac 32.

 

 

 

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