Esercizio 14 Equazioni parametriche

Traccia

Data l’equazione (2m-1)x^2+(2m-1)x-m+5=0, determinare i valori di m per cui si hanno soluzioni tali che il loro prodotto sia maggiore di -\frac 25.

Svolgimento

(2m-1)x^2+(2m-1)x-m+5=0

Per capire per quali valori di m l’equazione avrà soluzioni reali, basterà semplicemente studiare la positività del \Delta.

a=2m-1

b=2m-1

c=5-m

\Delta=(2m-1)^2-4(2m-1)(5-m)

\Delta=4m^2-4m+1-40m+8m^2+20-4m

\Delta=12m^2-48m+21

Imponiamo ora che \Delta \geq 0 e avremo:

12m^2-48m+21 \geq 0

4m^2-16m+7 \geq 0

L’equazione associata ammetterà come soluzioni,

m_1= \frac 12 \quad \wedge \quad m_2=\frac 72

il che implica che, andando a vedere la tabella delle disequazioni, il risultato sarà:

m \leq \frac 12 \quad \lor \quad m \geq \frac 72 .

Affinchè le due radici siano discordi deve accadere che:

  • \frac ca > -\frac 25

\frac {5-m}{2m-1} >-\frac 25

\frac {5-m}{2m-1} +\frac 25 >0

\frac {25-5m+4m-2}{5(2m-1)} >0

\frac {-m+23}{5(2m-1)} >0

  • N\geq 0 \Rightarrow m \leq 23
  • D>0 \Rightarrow m >1

Senza bisogno di fare il grafico, possiamo direttamente dire che la disequazione sarà verificata per valori interni alle radici, ovvero:

1<m \leq 23

Intersecando questa con la possibilità di avere radici reale avremo la soluzione:

\frac 72 \leq m\leq 23

 

 

 

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