Esercizio 15 Equazioni parametriche

Traccia

Stabilire per quali valori di a l’equazione (3-2a)x^2+(3a-10)x +2a+8=0 ammette soluzioni che verificano la relazione: x_1+x_2-x_1x_2> \frac 75.

Svolgimento

(3-2a)x^2+(3a-10)x +2a+8=0

Per capire per quali valori di a l’equazione avrà soluzioni reali, basterà semplicemente studiare la positività del \Delta.

a=3-2a

b=3a-10

c=2a+8

\Delta=(3a-10)^2-4(2a+8)(3-2a)

\Delta=9a^2-60a+100-24a+16a^2-96+64a

\Delta=25a^2-20a+4

\Delta=(5a-2)^2

Imponiamo ora che \Delta \geq 0 e avremo:

(5a^2-2)^2 \geq 0

Essendo un quadrato di binomio la disequazione sarà sempre verificata.

 

Affinchè sia verificato che x_1+x_2-x_1x_2> \frac 75, deve accadere che:

  • -\frac ba - \frac ca > \frac 75

-\frac {3a-10}{3-2a} - \frac {2a+8}{3-2a} >\frac 75

-\frac {3a-10}{3-2a} - \frac {2a+8}{3-2a} -\frac 75 >0

\frac {3a-10}{3-2a} + \frac {2a+8}{3-2a}+\frac 75 <0

\frac {15a-50+10a+40+21-14a}{5(3-2a)} <0

\frac {11a+11}{5(3-2a)} <0

11\frac {a+1}{5(2a-3)} >0

  • N > 0 \Rightarrow a>-1
  • D>0 \Rightarrow a >\frac 32

Senza bisogno di fare il grafico, possiamo direttamente dire che la disequazione sarà verificata per valori esterni alle radici, ovvero:

a<-1 \quad \lor \quad a > \frac 32

che coincide anche con la soluzione finale in quanto non c’è nessuna limitazione sul \Delta.

 

 

 

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