Esercizio 10 Equazioni parametriche

Traccia

Determinare i valori del parametro k per cui l’equazione (5-x)^2-(4-x)^2=k(5-x)(2-x) ha due soluzioni discordi, dopo aver verificato che l’equazione ammette sempre due soluzioni.

Svolgimento

(5-x)^2-(4-x)^2=k(5-x)(2-x)

25-10x+x^2-16+8x-x^2=k(10-5x-2x+x^2)

9-2x=10k-7kx+kx^2

kx^2 +x(2-7k)+10k-  9=0

Per capire per quali valori di k l’equazione avrà sempre soluzioni reali, basterà semplicemente studiare la positività del \Delta.

a=k

b=2-7k

c=10k-9

\Delta=(2-7k)^2-4k(10k-9)

\Delta=4-28k+49k^2-40k^2+36k

\Delta=9k^2+8k+4

Imponiamo ora che \Delta \geq 0 e avremo:

9k^2+8k+4 \geq 0

L’equazione associata non ammetterà nessuna soluzione, il che implica che, andando a vedere la tabella delle disequazioni, il risultato sarà:

\forall k \in R.

Affinchè le due radici siano discordi deve accadere che:

  • \frac ca <0

\frac {10k-9}{k} \leq 0

  • N\geq 0 \Rightarrow k  \geq  \frac {9}{10}
  • D>0 \Rightarrow k >0

Senza bisogno di fare il grafico, possiamo direttamente dire che la disequazione sarà verificata per valori interni alle radici, ovvero:

0<k \leq \frac {9}{10}

 

 

 

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