Esercizio 7 Equazioni parametriche

Traccia

Dopo aver verificato che l’equazione x^2-(3a-1)x+2a^2-a=0 ha sempre soluzione per qualsiasi valore di a, determinare a in modo che le due radici siano entrambe positive.

Svolgimento

x^2-(3a-1)x+2a^2-a=0

Per capire per quali valori di a l’equazione avrà sempre soluzioni reali, basterà semplicemente studiare la positività del \Delta.

a=1

b=1-3a

c=2a^2-a

\Delta=(1-3a)^2-4(2a^2-a)

\Delta=1-6a+9a^2-8a^2+4a

\Delta=a^2-2a+1

Imponiamo ora che \Delta \geq 0 e avremo:

a^2-2a+1 \geq 0

L’equazione associata ammetterà come soluzione:

a=1

e quindi, andando a vedere la tabella delle disequazioni, il risultato sarà:

\forall a \in R.

Affinchè le due radici siano positive deve accadere che:

  • -\frac ba >0
  • \frac ca >0

Andando a risolvere queste due disequazioni simultaneamente otterremo:

\begin {cases} -(1-3a)>0 \\ 2a^2-a>0 \end{cases}

\begin {cases} 3a-1>0 \\ a(2a-1)>0 \end{cases}

\begin {cases} a>\frac 13 \\ a<0 \quad \lor \quad a > \frac 12 \end{cases}

Intersecando le soluzioni, visto che queste comunque devono essere verificate contemporaneamente, si verifica subito che la soluzione richiesta è:

a > \frac 12.

 

 

 

 

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