Esercizio 21 Disequazioni frazionarie (grado superiore al primo)

Traccia

\frac {x-1}{x+1}+\frac 3x < \frac 14

Svolgimento

\frac {x-1}{x+1}+\frac 3x - \frac 14 <0

\frac {4x(x-1)+12(x+1)-x(x+1)}{4x(x+1)} <0

\frac {4x^2-4x+12x+12-x^2-x}{4x(x+1)} <0

\frac {3x^2+7x+12}{4x(x+1)} <0

Prima di fare il grafico è necessario analizzare pezzo per pezzo numeratore e denominatore separatamente, e poi unire i risultati:

  • N >  0

3x^2+7x+12 > 0

Bisogna prima di tutto calcolare il \Delta:

\Delta= 49-144=-95.

Andando a vedere la tabella in

Disequazioni di secondo grado

vedremo che questa disequazione, senza trovare la soluzione dell’equazione associata, sarà  verificata:

\forall x \in R

  • D>0

4x(x+1)>0

possiamo subito affermare che dopo aver trovato che le soluzioni dell’equazione associata sono:

x_1=-1

x_2=0

e questa disequazione è verificata per

x < -1 \quad \lor \quad x>0.

(-\infty; -1) (-1;0) (0; +\infty)
N > 0 +++ +++ +++
D>0 +++ —- +++
Risultato +++ —- +++

 

 

Quindi, guardando il grafico per capire le soluzioni, possiamo direttamente affermare che la disequazione:

\frac {3x^2+7x+12}{4x(x+1)} <0

è verificata per -1<x<0.

 

 

 

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