Esercizio 31 Disequazioni frazionarie (grado superiore al primo)

Traccia

\frac {x-5}{x+3}\leq \frac {8-x}{3-x}

Svolgimento

\frac {x-5}{x+3}- \frac {8-x}{3-x} \leq 0

\frac {x-5}{x+3} + \frac {8-x}{x-3} \leq 0

\frac {(x-5)(x-3)+(8-x)(x+3)}{(x+3)(x-3)} \leq 0

\frac {x^2-3x-5x+15+8x+24-x^2-3x}{(x+3)(x-3)} \leq 0

\frac {-3x+39}{(x+3)(x-3)} \leq 0

\frac {3(x-13)}{(x+3)(x-3)} \geq 0

Prima di fare il grafico è necessario analizzare pezzo per pezzo numeratore e denominatore separatamente, e poi unire i risultati:

  • N \geq  0

x-13 \geq 0

x \geq 13

  • D>0

(x-3)(x+3)>0

Andando a vedere la tabella in

Disequazioni di secondo grado

possiamo subito affermare che dopo aver trovato che la soluzioni dell’equazione associata:

x_1=-3

x_2=3

questa disequazione è verificata per

x<-3 \quad \lor \quad x>3.

(-\infty; -3) (-3;3) (3;13) (13; +\infty)
N \geq 0 —- —- —- +++
D>0 +++ —- +++ +++
Risultato —- +++ —- +++

 

 

Quindi, guardando il grafico per capire le soluzioni, possiamo direttamente affermare che la disequazione:

\frac {3(x-13)}{(x+3)(x-3)} \geq 0

è verificata per -3<x<3 \quad \lor \quad x \geq 13.

 

 

 

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