Esercizio 37 Disequazioni frazionarie (grado superiore al primo)

Traccia

\frac {3}{x^2-5x+6}+\frac {4-x}{3-x}> \frac {6-x}{2-x}

Svolgimento

\frac {3}{(x-2)(x-3)}+\frac {x-4}{x-3}- \frac {x-6}{x-2}>0

\frac {3+(x-4)(x-2)-(x-6)(x-3)}{(x-2)(x-3)}>0

\frac {3+x^2-4x-2x+8-x^2+3x+6x-18}{(x-2)(x-3)}>0

\frac {3x-7}{(x-2)(x-3)}>0

Prima di fare il grafico è necessario analizzare pezzo per pezzo numeratore e denominatore separatamente, e poi unire i risultati:

  • N > 0

3x-7> 0

x>\frac 73

  • D>0

(x-3)(x-2)>0

Andando a vedere la tabella in

Disequazioni di secondo grado

possiamo subito affermare che dopo aver trovato che la soluzioni dell’equazione associata:

x=2

x=3

questa disequazione è verificata per

x < 2 \quad \lor \quad x>3.

(-\infty; 2) (2;\frac 73) (\frac 73;3) (3; +\infty)
N > 0 —- —- +++ +++
D>0 +++ —- —- +++
Risultato —- +++ —- +++

 

 

Quindi, guardando il grafico per capire le soluzioni, possiamo direttamente affermare che la disequazione:

\frac {3x-7}{(x-2)(x-3)}>0

è verificata per 2<x<\frac 73 \quad \lor \quad x>3.

 

 

 

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