Esercizio 33 Disequazioni frazionarie (grado superiore al primo)

Traccia

\frac 25 (\frac {1}{x-2}-1)<\frac {1}{5(x^2+x-6)}-\frac {2+x}{x+3}

Svolgimento

\frac {2}{5(x-2)}-\frac 25-\frac {1}{5(x+3)(x-2)}+\frac {2+x}{x+3} < 0

\frac {2(x+3)-2(x^2+x-6)-1+5(2+x)(x-2)}{5(x+3)(x-2)} < 0

\frac {2x+6-2x^2-2x+12-1+5x^2-20}{5(x+3)(x-2)} < 0

\frac {3x^2-3}{5(x+3)(x-2)} < 0

Prima di fare il grafico è necessario analizzare pezzo per pezzo numeratore e denominatore separatamente, e poi unire i risultati:

  • N > 0

3(x^2 -1) > 0

x^2-1>0

Bisogna prima di tutto calcolare il \Delta:

\Delta= 0+4=4.

Andando a vedere la tabella in

Disequazioni di secondo grado

vedremo che questa disequazione, andando a trovare la soluzione dell’equazione associata, sarà verificata:

x <-1  \quad \lor \quad x >1

  • D>0

(x+3)(x-2)>0

Andando a vedere la tabella in

Disequazioni di secondo grado

possiamo subito affermare che dopo aver trovato che la soluzioni dell’equazione associata:

x=-3

x=2

questa disequazione è verificata per

x < - 3 \quad \lor \quad x>2.

(-\infty; -3) (-3;-1) (1;1) (1;2) (2; +\infty)
N > 0 +++ +++ —- +++ +++
D>0 +++ —- —- —- +++
Risultato +++ —- +++ —- +++

 

 

Quindi, guardando il grafico per capire le soluzioni, possiamo direttamente affermare che la disequazione:

\frac {3x^2-3}{5(x+3)(x-2)} < 0

è verificata per -3<x<-1 \quad \lor \quad 1<x<2.

 

 

 

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