Esercizio 36 Disequazioni frazionarie (grado superiore al primo)

Traccia

\frac {x+1}{x^2-4}-\frac 1{x+2}-\frac {2-x}{x^2+4x+4}\leq 0

Svolgimento

\frac {x+1}{(x-2)(x+2)}-\frac 1{x+2}-\frac {2-x}{(x+2)^2}\leq 0

\frac {(x+1)(x+2)-(x^2-4)-(2-x)(x-2)}{(x+2)^2(x-2)}\leq 0

\frac {x^2+2x+x+2-x^2+4+x^2-2x-2x+4}{(x+2)^2(x-2)}\leq 0

\frac {x^2-x+10}{(x+2)^2(x-2)}\leq 0

Prima di fare il grafico è necessario analizzare pezzo per pezzo numeratore e denominatore separatamente, e poi unire i risultati:

  • N \geq 0

x^2-x+10 \geq 0

Bisogna prima di tutto calcolare il \Delta:

\Delta= 1-40=-39.

Andando a vedere la tabella in

Disequazioni di secondo grado

vedremo che questa disequazione sarà verificata:

\forall x \in R

  • D>0

(x+2)^2(x-2)>0

Imponendo che x \neq  - 2, visto che un quadrato è sempre positivo, otteniamo:

x-2>0

x>2

Quindi, essendo il numeratore sempre positivo, basterà guardare il risultato del denominatore, e quindi, possiamo direttamente affermare che la disequazione:

\frac {x^2-x+10}{(x+2)^2(x-2)}\leq 0

è verificata per x<2 \mbox { con } x \neq -2.

 

 

 

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