Esercizio 24 Disequazioni frazionarie (grado superiore al primo)

Traccia

\frac {x}{x+2}<5-\frac {x}{3-x}

Svolgimento

\frac {x}{x+2} - 5 + \frac {x}{3-x} < 0

\frac {x}{x+2} - 5 - \frac {x}{x-3} < 0

\frac {x(x-3)-5(x+2)(x-3)-x(x+2)}{(x+2)(x-3)} < 0

\frac {x^2-3x-5x^2+15x-10x+30-x^2-2x}{(x+2)(x-3)} < 0

\frac {-5x^2+30}{(x+2)(x-3)} < 0

\frac {5(x^2-6)}{(x+2)(x-3)} > 0

Prima di fare il grafico è necessario analizzare pezzo per pezzo numeratore e denominatore separatamente, e poi unire i risultati:

  • N >  0

x^2-6 > 0

Bisogna prima di tutto calcolare il \Delta:

\Delta= 0+24=24.

Andando a vedere la tabella in

Disequazioni di secondo grado

vedremo che questa disequazione, andando a trovare la soluzione dell’equazione associata, sarà verificata:

x <-\sqrt 6 \quad \lor \quad x> \sqrt 6

  • D>0

(x+2)(x-3)>0

Andando a vedere la tabella in

Disequazioni di secondo grado

possiamo subito affermare che dopo aver trovato che le soluzioni dell’equazione associata sono:

x_1=-2

x_2=3

questa disequazione è verificata per

x < -2 \quad \lor \quad x>3.

(-\infty; -\sqrt 6) (-\sqrt 6;-2) (-2; \sqrt 6) (\sqrt 6;3) (3; +\infty)
N > 0 +++ —- —- +++ +++
D>0 +++ +++ —- —- +++
Risultato +++ —- +++ —- +++

 

 

Quindi, guardando il grafico per capire le soluzioni, possiamo direttamente affermare che la disequazione:

\frac {5(x^2-6)}{(x+2)(x-3)} > 0

è verificata per x<-\sqrt 6 \quad \lor \quad -2<x<\sqrt 6 \quad \lor \quad x>3.

 

 

 

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