Esercizio 11 Problemi di geometria

Traccia

In un trapezio isoscele la base minore è i \frac 25 del lato obliquo, il perimetro è 80 cm e la somma della quarta parte della base maggiore con la metà della base minore è 12 cm. Verificare che il trapezio è circoscrivibile a una circonferenza e calcolarne il diametro.

Svolgimento

trapezioisoscele

Dai dati avremo:

CD=\frac 25 BC

2p=80 \mbox { cm}

\frac 14 AB + \frac 12 CD=12 \mbox { cm}

Ponendo BC=x, otteniamo:

CD=\frac 25x

e sostituendo nell’altra:

\frac 14 AB+ \frac 12 \frac 25x =12

\frac 14 AB+ \frac 15x =12

5AB=240-4x

AB=48 - \frac 45 x

Inserendo tutto nell’equazione del perimetro ricaviamo l’incognita:

48 - \frac 45 x+x+\frac 25 x +x =80

2x- \frac 25 x =32

\frac 85 x =32

x=20

Ricaviamo i lati:

AB=32 \mbox { cm}

BC=AD=20  \mbox { cm}

CD= 8  \mbox { cm}

Affinchè il trapezio sia circoscrivibile deve essere uguale la somma dei lati opposti, e quindi:

AB+CD=AD+BC, che è verificato.

 

Calcoliamo quindi il diametro, che equivale all’altezza del trapezio, sfruttando il triangolo rettangolo BHC e che

BH=\frac 12 (AB-CD)=12 \mbox { cm}:

 

 

CH=\sqrt { BC^2-BH^2}=\sqrt { 20^2 - 12^2 }\mbox { cm}=\sqrt { 400 - 144 }\mbox { cm}=\sqrt { 256 }\mbox { cm}=16\mbox { cm}.

 

 

 

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