Esercizio 3 Problema di geometria

Traccia

In una circonferenza di diamtro AB= 30 cm è data una corda CD perpendicolare nel punto M al diametro AB. Sapendo che

    \[\frac 34 AM + \frac 13 MB=20 cm\]

, determinare l’area del quadrilatero ABCD. (Porre AM=x).

 

circonferenza con corda

Svolgimento

 

Dal disegno si evince subito che i triangoli ABC e ABD sono retti, e che M risulterà essere il punto medio della corda CD.

Ponendo AM=x, otteniamo:

MB=30-x, e quindi:

\frac 34 x + \frac 13 (30-x) =20

\frac 34x + 10-\frac 13 x =20

\frac {9-4}{12}x=10

\frac {5}{12}x=10

x=24

Quindi:

AM=24 \mbox { cm}

BM=6 \mbox { cm}

Ricaviamo CM con il secondo teorema di Euclide:

CM=\sqrt {AM \cdot MB}=\sqrt {24 \cdot 6} \mbox { cm}=12 \mbox { cm}

Così l’area del quadrilatero ABCD sarà il doppio dell’area del triangolo rettangolo, di cui sappiamo l’ipotenusa e la sua altezza relativa:

A_{ABCD}=2A_{ABC}=2 \frac {AB \cdot CM}{2}=AB \cdot CM=(30 \cdot 12) \mbox { cm}^2=360\mbox { cm}^2.

 

 

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