Esercizio 25 Problemi di geometria

Traccia

Nel triangolo ABC, rettangolo in A, il cateto minore AB è lungo 7a e l’ipotenusa supera di a l’altro cateto. Determinare sull’ipotenusa BC un punto P in modo che sia

    \[\frac 14 BP+\frac 13 CP \cong AB\]

.
Condotta la circonferenza circoscritta al triangolo ABC, sia PD la semicorda, esterna al triangolo ABC, perpendicolare a BC. Determinare la lunghezza del perimetro e l’area del quadrilatero ABDC.

Svolgimento

triangolo rettangolo circonferenza semicorda

Poniamo AC=x, così abbiamo:

AB=7a

BC=x+a.

Utilizziamo Pitagora:

BC^2=AC^2+AB^2

(x+a)^2=x^2+49a^2

x^2+2ax+a^2=x^2+49a^2

2ax=48a^2

x=24a

AC=24a

BC=25a

Ora poniamo BP=y, quidni avremo:

PC = 25a - y.

Dalla relazione della traccia ricaviamo l’incognita:

\frac x4 + \frac 13 (25a - x) = 7a

3y + 100a- 4y = 84a

x = 16a

BP = 16a,

PC=9a.

Circoscrivendo una circonferenza al triangolo, si nota subito che BC risulterà proprio il diametro della circonferenza, e di conseguenza avremo 2 triangoli rettangoli, ABC e BDC.

Ricaviamo quindi, con Euclide, tutti i dati che ci servono:

DB=\sqrt {BP \cdot BC}=\sqrt {16a \cdot 25a}=20a

DC=\sqrt {CP \cdot BC}=\sqrt {9a \cdot 25a}=15a

PD=\sqrt {CP \cdot BP}=\sqrt {9a \cdot 16a}=12a

Adesso abbiamo tutto ciò che ci serve per ricavare il perimetro:

2p_{ABDC}=(7+24+15+20)a=66a

e l’area:

A_{ABDC}=A_{ABC}+A_{BCD}=\frac {AB \cdot AC}{2}+ \frac {BC\cdot PD}{2}=\frac {7a \cdot 24a}{2}+ \frac {25a\cdot 12a}{2}=84a^2+150a^2=234a^2

 
 

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