Esercizio 4 Problema di geometria

Traccia

E’ data una circonferenza di centro O e di diametro AB=6a; si prolunghi il diametro AB, oltre B, di un segmento BC=2a e da C si conducano le due tangenti alla circonferenza. Detti D ed E i due punti di contatto, si determini il segmento CP=x, su CD, in modo che sia verificata la seguente relazione:

    \[\frac 34 CE - 2PC = \frac 13 PD\]

. Determinare, poi, il perimetro e l’area del quadrilatero ODCE.

circonferenza con tangenti

Svolgimento

Dai dati e dal grafico si evince subito che:

OB=3a

OC=5a

Sappiamo anche che OD equivale al raggio, 3a, e che questo sarà perpendicolare al segmento di tangenza. Di conseguenza, possiamo ricavare subito il lato DC con il teorema di Pitagora sul triangolo ODC:

DC=\sqrt {OC^2-DO^2}=\sqrt {25-9}a=\sqrt {16}a=4a.

Ponendo PC=x da traccia, otteniamo:

PD=4a-x.

Analizziamo ora la relazione sapendo che i segmenti di tangenza sono congruenti per definizione:

\frac 34 4a -2x=\frac 13 (4a-x)

3a-2x=\frac 43 a - \frac 13 x

9a-6x=4a-x

5x=5a

x=a

Quindi ora ricaviamo perimetro e area del quadrilatero:

2p_{ODCE}=3a+4a+4a+3a=14a

A_{ODCE}=2A_{ODC}=2 \frac {OD \cdot DC}{2}=3a \cdot 4a= 12a^2.

 

 

 

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