Esercizio 22 Problemi di geometria

Traccia

Un triangolo isoscele è inscritto in una circonferenza e il centro della circonferenza è interno al triangolo; sommando i \frac 58 della base a \frac 14 dell’altezza relativa si ottengono 19 cm e la base supera di 12 cm i \frac 34 dell’altezza. Determinare le lunghezze dei lati del triangolo e del raggio della circonferenza.

Svolgimento

triangolo isoscele inscritto

Dato il triangolo isoscele di base BC, poniamo:

BC=x

AH=y,

e risolviamo il sistema:

\begin{cases} \frac 58 x + \frac 14 y=19 \\ x=12+\frac 34 y\end{cases}

\begin{cases} 5x + 2 y=152 \\ x=12+\frac 34 y\end{cases}

\begin{cases} 5(12+\frac 34y) + 2 y=152 \\ x=12+\frac 34 y\end{cases}

\begin{cases} 60+\frac {15}{4}y + 2 y=152 \\ x=12+\frac 34 y\end{cases}

\begin{cases} \frac {23}{4}y =92 \\ x=12+\frac 34 y\end{cases}

\begin{cases} y =16 \\ x=24\end{cases}

Sapendo base e altezza ricaviamo facilmente il lato con Pitagora:

AB=AC=\sqrt {AH^2+BH^2}=\sqrt {16^2+12^2}\mbox { cm}=\sqrt {256+144}\mbox { cm}=\sqrt {400}\mbox { cm}=20\mbox { cm}.

Il raggio sarà dato dalla formula:

r=\frac {AB \cdot BC \cdot AC}{4A}=\frac {AB \cdot BC \cdot AC}{4\frac {AH \cdot BC}{2}}=\frac {AB  \cdot AC}{2AH}=\frac {20 \cdot 20}{2 \cdot 16}\mbox { cm}=12,5\mbox { cm}
 

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