Esercizio 12 Problemi di geometria

Traccia

Un triangolo isoscele ABC, di base AB e altezza CH, è inscritto in una circonferenza di centro O. Sapendo che

    \[\frac 29 CH + \frac 16 AB=CH-AB=3 \mbox{ cm }\]

, si verifichi che la distanza tra O e i lati congruenti è \sqrt{\frac 52} cm.

Svolgimento

triangolo isoscele inscritto

Ponendo AB=x, dai dati avremo:

CH=x+3

4CH + 3x = 54.

Sostituendo otteniamo:

4x+12+3x=54

7x=42

x=6

da cui:

AB=6 \mbox { cm}

CH=9 \mbox { cm}.

Per calcolare la distanza tra il segmento ci serve calcolare il lato obliquo del triangolo perche la formula del raggio è:

r=\frac {AB \cdot BC \cdot AC}{4A}=\frac {AB \cdot BC \cdot AC}{4\frac {AB \cdot CH}{2}}=\frac {BC \cdot AC}{2CH}

quindi:

AC=AB=\sqrt {CH^2+AH^2}=\sqrt {9^2+3^2}\mbox { cm}=\sqrt {81+9}\mbox { cm}=\sqrt {90}\mbox { cm}=3\sqrt {10}\mbox { cm}.

quindi:

r=\frac {3 \sqrt {10} \cdot 3 \sqrt {10}}{18}\mbox { cm}=5\mbox { cm}

Ora, per trovare la distanza, basterà considerare i due triangoli ACH e OCK, e vedere che questi sono simili, di conseguenza:

OK:AH=OC:AC

OK=\frac {AH \cdot OC}{AC}=\frac {3 \cdot 5 }{3 \sqrt {10}}\mbox { cm}=\frac {5}{\sqrt {10}}\mbox { cm}=\sqrt {\frac 52}\mbox { cm}. cvd
 

 

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