Esercizio 26 Problemi di geometria

Traccia

E’ data una semicirconferenza di diametro AB = 12 cm; il punto C divide AB in parti proporzionali ai numeri 1 e 4. Si conduca da C la perpendicolare ad AB che incontri in D la semicirconferenza e, dopo aver determinato AC, CB, CD, si determini sull’arco BD un punto E in modo che si abbia

    \[\frac 19 EH + \frac 14 EK = 2 \mbox { cm}  \quad  \mbox { e }  \quad \frac 15 DH + \frac 12 BK = 1,2 \mbox { cm }.\]

, essendo H e K le proiezioni ortogonali di E rispettivamente su CD e CB. Come risulta il quadrilatero CDEK?

Svolgimento

semicirconferenza quadrilatero

Dai dati abbiamo che:

AB=12 \mbox { cm}

AC+CB = 12\mbox { cm}

Sappiamo anche che:

AC=\frac 14 CB

o meglio

CB=4AC.

Sostituendo sopra otteniamo:

AC+4AC= 12 \mbox { cm}

AC=2,4 \mbox { cm}

BC=9,6\mbox { cm}.

Per ricavare CD, sfruttiamo il fatto che il triangolo ADB sia inscritto in una semicirconferenza e di conseguenza rettangolo. Con il secondo teorema di Euclide avremo:

CD=\sqrt {AC \cdot CB}=\sqrt {2,4 \cdot 9,6}\mbox { cm}=4,8 \mbox { cm}.

Risolviamo ora la seconda parte, ponendo EK=x, e EH=y, così da avere:

EH=CB \, \, \mbox{ e }\, \, EK=CH.

DH=DC-CH=4,8-x

BK = CB-CK= 9,6-y

Quindi, con le due condizioni dateci dalla traccia, risolviamo il sistema:

\begin{cases} \frac 19 y + \frac 14 x = 2 \\ \frac 15 (4,8-x) + \frac 12 (9,6-y) = \frac 65 \end{cases}

\begin{cases} 4 y + 9 x = 72 \\ 2 (4,8-x) + 5 (9,6-y) = 12 \end{cases}

\begin{cases} 4 y + 9 x = 72 \\ 9,6-2x + 48-5y = 12 \end{cases}

\begin{cases} 4 y + 9 x = 72 \\ 2x +5y = 45,6 \end{cases}

\begin{cases} 4 y + 9 x = 72 \\ 7x-y = 26,4 \end{cases}

\begin{cases} 4 (7x-26,4) + 9 x = 72 \\ y =7x- 26,4 \end{cases}

\begin{cases} 28x-105,6 + 9 x = 72 \\ y =7x- 26,4 \end{cases}

\begin{cases} 37x = 177,6 \\ y =7x- 26,4 \end{cases}

\begin{cases} x = 4,8 \\ y =7,2 \end{cases}
Ma essendo questi due valori esattamente congruenti ai valori trovati precedentemente, otteniamo che:

EK=CD \, \, \mbox {e} \, \, EH=CB.

Quindi il quadrilatero risulta essere proprio un rettangolo…
 

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