Esercizio 13 Problemi di geometria

Traccia

Il quadrilatero ABCD ha la diagonale maggiore AC perpendicolarae alla diagonale minore BD nel suo punto medio M. Determinare le lunghezze delle diagonali sapendo che la loro somma è 49 m e che la differenza tra i \frac 75 della maggiore e i \frac 38 della minore è 26 m. Sapendo inoltre che AM=\frac {9}{16}CM, determinare le lunghezze dei lati del quadrilatero e verificare che gli angoli in B e in D sono retti. Dopo aver dimostrato che il quadrilatero è circoscrivibile a una circonferenza, determinare il raggio della circonferenza inscritta.

Svolgimento

quadrilatero con circonferenza

Dai dati avremo che:

AC+BD=49 \mbox { m}

\frac 75 AC-\frac 38BD=26\mbox { m}

Ponendo BD=x otteniamo:

AC=49-x

e sostituendo avremo:

\frac 75 (49-x)-\frac 38x =26

56 (49-x)-21x =1040

2744-56x-15x =1040

-71x =-1704

x=24

Quindi avremo:

BD=24 \mbox { m}

e

AC=25 \mbox { m}.

Sappiamo ancora dai dati che:

AM=\frac {9}{16}CM

BM=MD=12 \mbox { m}

e notando che:

AM+CM=AC

avremo:

\frac {9}{16}CM+CM=25\mbox { m}

\frac {25}{16}CM=25\mbox { m}

CM=16 \mbox { m}

AM=9\mbox { m}.

Per verificare che gli angoli in B e in D siano retti, basterà verificare il secondo teorema di Euclide sul triangolo ABC, che quindi ipotizziamo retto in B. Se fosse vero, deve verificarsi che:

BM^2=AM \cdot MC

12^2=16 \cdot 9

144=144 CVD.

Calcoliamo le lunghezze dei lati con Pitagora:

AB=AD=\sqrt {AM^2+BM^2}=\sqrt {81+144}\mbox { m}=\sqrt {225}\mbox { m}=15\mbox { m}.

BC=BD=\sqrt {CM^2+BM^2}=\sqrt {256+144}\mbox { m}=\sqrt {400}\mbox { m}=20\mbox { m}.

Affinchè sia circoscrivibile deve verificarsi che la somma dei lati opposti sia uguale, ma questo è verificato perchè i lati sono uguali a due a due consecutivamente:

AB+CD=AD+BC

15+20=15+20 CVD.

Il raggio della circonferenza inscritta sarà dato da:

r=\frac {A}{p}, dove

A=\frac {AC \cdot BD}{2}=\frac {25 \cdot 24}{2}\mbox { m}^2=300\mbox { m}^2.

2p=(20+15+20+15)\mbox { m}=70\mbox { m}.

Quindi:

r=\frac {300}{35}\mbox { m}=\frac {60}{7}\mbox { m}.

 
 

 

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