Traccia
Il diametro di una circonferenza, lungo 25 cm è diviso dal punto nelle due parti e in modo che
. Condotta per la corda perpendicolare al diametro , determinare la lunghezza del perimetro del quadrilatero e, dopo aver dimostrato che il quadrilatero è circoscrivibile a una circonferenza, determinare la lunghezza del raggio della circonferenza inscritta.
Svolgimento
Ricaviamo subito i due segmenti e :
Applichiamo il metodo di riduzione, moltiplicando la prima equazione per 3 e sottraendo membro a membro:
.
Quindi:
Per costruzione, avremo che , essendo CD una corda perpendicolare al diametro e i due triangoli ABC e ADB, ambedue rettangoli, sono congruenti.
Troviamo quindi AC e BC con Euclide:
.
Di conseguenza avremo anche:
Il perimetro del quadrilatero sarà:
.
Di sicuro il quadrilatero sarà circoscrivibile perchè, affinchè lo sia, deve essere uguale la somma dei lati opposti, ma ciò abbiamo appena visto che è vero per costruzione.
Per avere il raggio ci serve calcolare l’area del quadrilatero:
.
Calcoliamo il raggio quindi:
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