Esercizio 24 Problemi di geometria

Traccia

Il diametro AB di una circonferenza, lungo 25 cm è diviso dal punto H nelle due parti AH e HB in modo che

    \[\frac 14 HB+\frac 13AH=7\]

. Condotta per H la corda CD perpendicolare al diametro AB, determinare la lunghezza del perimetro del quadrilatero ADBC e, dopo aver dimostrato che il quadrilatero è circoscrivibile a una circonferenza, determinare la lunghezza del raggio della circonferenza inscritta.

Svolgimento

quadrilatero circonferenza inscritta e circoscritta

Ricaviamo subito i due segmenti AH=x e BH=y:

\begin{cases} x+y=25 \\ \frac 14 y + \frac 13 x =7 \end{cases}

\begin{cases} x+y=25 \\ \3 y +4 x =84 \end{cases}

Applichiamo il metodo di riduzione, moltiplicando la prima equazione per 3 e sottraendo membro a membro:

\begin{cases} x+y=25 \\ \3x+3y-3 y -4 x =75-84 \end{cases}

\begin{cases} x+y=25 \\ \- x =-9 \end{cases}

\begin{cases} y=16 \\ \  x =9 \end{cases}.

Quindi:

AH= 9 \mbox { cm}

BH= 16 \mbox { cm}

Per costruzione, avremo che CH=HD, essendo CD una corda perpendicolare al diametro e i due triangoli ABC e ADB, ambedue rettangoli, sono congruenti.

Troviamo quindi AC e BC con Euclide:

AC=\sqrt {AH \cdot AB}=\sqrt {9 \cdot 25}\mbox { cm}=15\mbox { cm}

BC=\sqrt {BH \cdot AB}=\sqrt {16 \cdot 25}\mbox { cm}=20\mbox { cm}.

Di conseguenza avremo anche:

AC=AD=15\mbox { cm}

BC=BD=20\mbox { cm}

Il perimetro del quadrilatero sarà:

2p_{ABCD}=(20+15+15+20)\mbox { cm}=70\mbox { cm}.

Di sicuro il quadrilatero sarà circoscrivibile perchè, affinchè lo sia, deve essere uguale la somma dei lati opposti, ma ciò abbiamo appena visto che è vero per costruzione.

Per avere il raggio ci serve calcolare l’area del quadrilatero:

A_{ABCD}=2A_{ABC}=2\frac12 (AC \cdot BC)=(15\cdot 20)\mbox { cm}^2=300\mbox { cm}^2.

Calcoliamo il raggio quindi:

r=\frac {A}{p}=\frac {300}{\frac 12 70}\mbox { cm}=\frac {60}{7} \mbox { cm}

 
 

Altri esercizi simili:

(Questa pagina è stata visualizzata da 73 persone)

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato.