Esercizio 6 Problemi di geometria

Traccia

Un trapezio isoscele è circoscritto a una semicirconferenza di diametro 30 cm. Dopo aver dimostrato che il lato obliquo è metà della base maggiore, determinare il perimetro del trapezio sapendo che il diametro è il triplo della base minore.

Svolgimento

trapezio e semicirconferenza

Tracciamo l’altezza CH ed il raggio OT, essendo T il punto di tangenza di un lato obliquo.

L’angolo \widehat{OTB} risulta retto per il teorema della retta tangente.

I triangoli rettangoli CHB e OTB sono congruenti per il criterio dei triangoli rettangoli (CH = OT perché raggi; l’angolo in B in comune).

Di conseguenza

BC = OB = \frac 12 AB cvd.

Dai dati avremo che:

CD=10 \mbox { cm}.

Poniamo

BC=x

AB=2x

e così avremo:

BH=\frac 12 (2x-10)=x-5

Sfruttiamo il triangolo rettangolo CHB per ricavare la x, sapendo che l’altezza equivale al raggio:

CB^2=CH^2+HB^2

x^2=15^2+(x-5)^2

x^2=225+x^2-10x+25

10x=250

x=25

Quindi otteniamo:

BC= 25 \mbox { cm}

AD = 25 \mbox { cm}

AB= 50 \mbox { cm}

Il perimetro sarà:

2p_{ABCD}=(50+25+10+25) \mbox { cm}=110\mbox { cm}

 

 

 

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